2-SAT学习笔记

2-SAT学习笔记

问题

由数理逻辑的知识我们知道，任何一个合式公式对应于一个合取范式。判断一般合式公式的可满足性是一个NPC问题，甚至当存在一些项由三个或以上原子命题时，判断其可满足性仍然是NPC。

考虑一个每一项都只有至多两个原子命题的合取范式(2-SAT)，其中要支持¬,∨,∧,→,↔，问是否存在一种真值指派，使得合取范式为真。

2-SAT形如:

(p∨q)∧(a→b)∧(¬c)

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一些简化

由于¬和→是“直观的”，我们考虑用这两种联结词表示其他联结词。不难证明，{¬,→}构成一个联结词完备集。其中：

1. a∨b=¬(¬a)∨b=¬a→b
2. a∧b=¬(¬(a∧b))=¬(¬a∨¬b)
3. a↔b=(a→b)∧(b→a)

因而我们只需要考虑含有¬和→的2-SAT即可。

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建图

我们考虑图论手段。将每个原子命题拆成为真和为假两个点，记作i,¬i。如果存在一个a→b，则从a到b连一条有向边。特别的，当存在一个约束¬a→¬b时，应该加上b→a（容易证明）。一个重要的论断告诉我们：

定理： 一个2-SAT是不可满足的当且仅当∃i，使得i,¬i在同一个强连通分量内。

为了证明这个定理，我们需要先证明一个引理：当且仅当a⟺b，a和b在同一个强联通分量内。证明需要对其间的链长做归纳，这里不再赘述。

定理的证明：命题的必要性(⇐)是显然的。

充分性(⇒)(反证法)。假设∀i,¬(i)不在一个强联通分量内。考虑所有的强联通分量A1,A2,…,Ak，对于i,¬i分别位于Aφ(i),Aφ(¬i)，我们用一条无向边连接Aφ(i),Aφ(¬i)。这样则利用强联通分量建出一张图，这个图要么是二分图，要么不是二分图。

1. 如果是二分图，将图黑白染色，即可以说明存在一种真值指派满足2-SAT(这是显然的)。

2. 如果不是二分图，我们假设图中有一个奇环。任取一个元素i，则Aφ(i),Aφ(¬i)之间必有一个经过奇数个点(偶数条边)的路径。设建立这些路径的原子命题为a1,a2,…,a2k，则有：

   • i⟺a1
   • ¬a1⟺a2
   • ¬a2⟺a3
   • …
   • ¬a2k−1⟺a2k
   • ¬a2k⟺¬i

   我们将上面的式子整理为：

   • i⟺a1
   • a1⟺¬a2
   • ¬a2⟺a3
   • …
   • ¬a2k⟺¬i

   也就是i⟺¬i，根据引理，i,¬i在同一个强连通分量内，矛盾。

计算

对于给定的2-SAT，我们可以建出这样的一张图，通过Tarjan判断强联通分量即可。

struct TwoSat {
    struct node {
        int to, next;
    } edge[MAXN*30];
    int n, head[MAXN], top = 0;
    int Not(int i)
    { return n+i; }
    void push(int i, int j)
    { ++top, edge[top] = (node){j, head[i]}, head[i] = top; }

    int dfn[MAXN], low[MAXN], stk[MAXN], stk_top, instk[MAXN];
    int gp[MAXN], gp_top, dfn_top;
    void init(int _n)
    {
        n = _n;
        memset(dfn, 0, sizeof dfn); memset(head, 0, sizeof head);
        memset(instk, 0, sizeof instk); memset(gp, 0, sizeof gp);
        gp_top = dfn_top = stk_top = top = 0;
    }

    void tarjan(int nd)
    {
        dfn[nd] = low[nd] = ++dfn_top, stk[++stk_top] = nd, instk[nd] = 1;
        for (int i = head[nd]; i; i = edge[i].next) {
            int to = edge[i].to;
            if (!dfn[to]) tarjan(to), low[nd] = min(low[nd], low[to]);
            else if (instk[to]) low[nd] = min(low[nd], dfn[to]);
        }
        if (dfn[nd] == low[nd]) {
            int now; ++gp_top;
            do {
                now = stk[stk_top--], gp[now] = gp_top, instk[now] = 0;
            } while (now != nd);
        }
    }

    bool work()
    {
        for (int i = 1; i <= n*2; i++)
            if (!dfn[i])
                tarjan(i);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (gp[i] == gp[i+n])
                return false;
        return true;
    }
} ;

构造一组解