整数的拆分问题（不允许重复）

整数的任意拆分问题（不允许重复）

问题：输入两个整数n 和m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数(不许重复), 使其和等于m （m<=1+2+...n）,要求将其中所有的可能组合列出来.

分析：记整数p可以用1,2...q的所有不重复数之和表示的组合为C(p,q)，则C(p,q)可以表示为以下的组合：
{q} + C(p-q,q-1)  (如果q<=m)
或者
C(p,q-1)
即要么包含q，要么不包含q。

另外有C(0,K)={},  C(K,0)无解(K>0)

因此可以使用动态规划的方法解决。

实现:

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * 
 * @author ljs 2011-05-11
 * 
 * 输入两个整数n 和m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数(不许重复), 使其和等于m （m<=1+2+...n）,要求将其中所有的可能组合列出来.
 *
 */
public class SumPartition {
	private Object[][] C;
	private int m;
	private int n;
	
	public void sumPartitions(int m,int n){
		this.m = m;
		this.n = n;
		
		C = new Object[m+1][n+1];		
		//C[1][1]=new int[][]{{1}};
		
		//do the loop column by column
		for(int col=1;col<=n;col++) {
			for(int row=1;row<=m;row++){
				List<int[]> combines = new ArrayList<int[]>();
				
				//calculate {n} U C(row-col,col-1)
				if(col<row){					
					if(col>1){//when col==1, there is no solution
						Object[] C0  =(Object[])C[row-col][col-1];
									
						for(int i=0;i<C0.length;i++){
							int[] C0item = (int[])C0[i];
							
							//add n
							int[] cElementNew = new int[C0item.length+1];			
							System.arraycopy(C0item, 0, cElementNew, 0, C0item.length);
							cElementNew[C0item.length] = col; 
							combines.add(cElementNew);
						}
					}
				}else if(col==row){
					combines.add(new int[]{col});
				}
				
				//calculate C(row,col-1)
				//note: C(0,K) = {}; C(K,0) has no solution when K>0
				if(col>1){
					Object[] C1  =(Object[])C[row][col-1];
					for(int i=0;i<C1.length;i++){
						int[] C11 = (int[])C1[i];
						combines.add(C11);
					}
				}				
				C[row][col] = combines.toArray();
			}
		}
	}
	public void printSize(){
		
		Object[] ci = (Object[])C[m][n];
		
		System.out.println("m:"+ m + ",n=" + n + " size:" + ci.length);
	}
	public void prettyPrint(){
		//for(int i=0;i<=m;i++){
			Object[] ci = (Object[])C[m][n];
			System.out.print("{");
			for(int j=0;j<ci.length;j++){
				int[] cij = (int[])ci[j];
				System.out.print("{");
				for(int k=0;k<cij.length-1;k++)
					System.out.print(cij[k] + ",");
				if(cij.length-1>=0)
				System.out.print(cij[cij.length-1]);
				System.out.print("}");
			}
			System.out.print("}");
			
			//System.out.print(" m:"+ m + ",n=" + n + " size:" + ci.length);
			
			System.out.println();
		//}
	}

	public static void main(String[] args) {	

		SumPartition sp = new SumPartition();
		
		int m=6;
		int n=5;		
		sp.sumPartitions(m,n);
		sp.printSize();
		sp.prettyPrint();
		
		
		
		m = 20;		
		n=10;
		sp.sumPartitions(m,n);
		sp.printSize();
	}
}

测试输出：

 m:6,n=5 size:3
{{1,5}{2,4}{1,2,3}}

m:20,n=10 size:31

本实现中的row相当于上面讨论中的p， col相当于q。该算法的时间复杂度为O(mn)。