[HNOI2015]亚瑟王

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题目

解法

设\(dp[i][j]\)表示全局结束后，前\(i\)个中选了\(j\)个的概率,\(f[i]\)表示第\(i\)个被选上的概率，\(p[i]\)表示输入的那个概率。
有两种转移
1.这个数没被选,那么这个数一共会被考虑(r-j)次，因为选了前面\(j\)的那\(j\)轮没有考虑这个数，并且这(r-j)次都没有被选上,所以$$dp[i][j]+=dp[i-1][j]*(1-p[i])^{r-j}$$
2.这个数被选了,那么这个数一共会被考虑(r-j+1)次(因为前面有\(j-1\)个数被选，这\(j-1\)次没有考虑这个数)，没被选上的概率是\((1-p[i])^{r-j+1}\),所以被选上的概率是\(1-(1-p[i])^{r-j+1}\)。

\[dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(1-(1-p[i])^{r-j+1}) \]

\[f[i]+=dp[i-1][j-1]*(1-(1-p[i])^{r-j+1}) \]

注意:第二种转移要特判\(j\ne 0\)
最后\(ans=\sum_{i=1}^nf[i]*d[i]\)
这个很显然，每一个被选的概率乘以伤害，全部加起来就是期望。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,d[221];
double dp[300][200],a[301][200],f[300];
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%lf%d",&a[i][1],&d[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			a[i][0]=1;a[i][1]=1-a[i][1];
			for(int j=2;j<=m;++j)
				a[i][j]=a[i][j-1]*a[i][1];
		}
		dp[1][0]=a[1][m];
		dp[1][1]=f[1]=1-dp[1][0];
		for(int i=2;i<=n;++i)
			for(int j=0;j<=m;++j){
				dp[i][j]+=dp[i-1][j]*a[i][m-j];
				if(j){
					dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(1-a[i][m-j+1]);
					f[i]+=dp[i-1][j-1]*(1-a[i][m-j+1]);
				}
			}
		double ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)ans+=f[i]*d[i];
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
}