莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。莫比乌斯反演在大部分情况下都能简化运算。

导入

我们考虑一个函数\(f(x)=\sum_{d|x}g(d)\)
那么显然
\(f(1)=g(1)\)
\(f(2)=g(1)+g(2)\)
\(f(3)=g(1)+g(3)\)
\(f(4)=g(1)+g(2)+g(4)\)
\(f(5)=g(1)+g(5)\)
\(f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)\)
\(f(7)=g(1)+g(7)\)
\(f(8)=g(1)+g(2)+g(4)+g(8)\)
所以
\(g(1)=f(1)\)
\(g(2)=f(2)-f(1)\)
\(g(3)=f(3)-f(1)\)
\(g(4)=f(4)-f(2)\)
\(g(5)=f(5)-f(1)\)
\(g(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)\)
\(g(7)=f(7)-f(1)\)
\(g(8)=f(8)-f(4)\)

从此可以看出若\(f(x)=\sum_{d|x}g(d)\)
那么\(g(x)=\sum_{d|x}k*f(d)(k是系数)\)(也就是说\(g(x)可以由f(d)(\)d是x\(的约数)经过一定的变化反推出来\))

我们假设\(x=p^2(p是质数)\)
所以\(f(p)=g(p)+g(1),f(x)=g(x)+g(p)+g(1)\)
显然\(g(x)=f(x)-f(p)\)
可以看到
\(d=1时，k=0\)
\(d=p时，k=-1\)
\(d=x=p^2时，k=1\)
假设\(k=μ(\frac{x}{d})\) 所以此时
\(μ(p^2)=0,μ(p)=-1,μ(1)=1\)

莫比乌斯反演定理

定义函数\(μ(x)\)
\(μ(1)=1\)
当\(x=P_1P_2P_3\ldots P_n(P为质数且次数都是1)\),\(μ(x)=(-1)^n\)
对于其他情况\(μ(x)=0\)
显然\(μ\)是一个积性函数，我们在计算时一般用筛素数的方法进行预处理(就像你线性求欧拉函数一样)

若有\(f(x)=\sum_{d|x}g(d)\)
那么\(g(x)=\sum_{d|x}μ(\frac{x}{d})f(d)\)
这就是莫比乌斯反演定理。
当然，这还有一种形式(其实第二种用得更多，但不好导入)
若有\(f(x)=\sum_{x|d}g(d)\)
那么\(g(x)=\sum_{x|d}μ(\frac{d}{x})f(d)\)

证明一下形式1(第二种依此类推即可)
ps:为了看着舒服，将所有\(d\)替换成\(i\)
\(f(x)=\sum_{i|x}g(i)\)
\(g(x)=\sum_{i|x}μ(\frac{x}{i})f(i)\)
把\(g(x)\)带入\(f(x)\)

\[f(x)=\sum_{i|x}\sum_{j|i}μ(\frac{i}{j})f(j) \]

因为\(j|i\)且\(i|x\),那么肯定有 \(j|x\)且\(\frac{i}{j}|\frac{x}{j}\)

\[f(x)=\sum_{j|x}f(j)\sum_{\frac{i}{j}|\frac{x}{j}}μ(\frac{i}{j}) \]

看着很不爽，把\(\frac{i}{j}\)替换成\(i\)

\[f(x)=\sum_{j|x}f(j)\sum_{i|\frac{x}{j}}μ(i) \]

先设\(h(x)=\sum_{i|x}μ(i)\)

\[f(x)=\sum_{j|x}f(j)h(\frac{x}{j}) \]

考虑\(h(x)\)怎么求
显然\(h(1)=1\)
当\(x\neq 1\)时
设\(x=P_1^{a_1}P_2^{a_2}...P_n^{a_n},P_k为互不相同的质数\)
那么\(i=P_1^{b_1}P_2^{b_2}...P_n^{b_n},\)任意\(b_k\leq a_k\)
根据莫比乌斯函数的定义,若有任意一个\(b_k\geq 2\)
那么\(μ(i)=0\),对结果没有贡献;
若所有\(b_k\leq 1\),
对于\(b_1\)来说(任意一个\(b_k\)都可以,这里例举\(b_1\))，在其他位不变的情况下
根据莫比乌斯函数的定义
\(b_1\)为\(0\)或者为\(1\)的答案一个是\(1\)，另一个就是\(-1\)
加起来就是\(0\)了，所以\(b_1=1\)的所有情况加上\(b_1=0\)的结果为\(0\)
而\(b_1\geq 2\)时，\(μ(i)=0\)
所以\(h(x)=0\)
所有当且仅当\(x=1\)时\(h(x)=1\),否则\(h(x)=0\)
把\(h(x)\)往上代，就会愉快的发现等式成立了。

剩下的就是灵活运用啦