2024 ICPC ShaanXi Provincial Contest 换座位 sol

\(\text{Link}\)

自然地想到 \(i\) 向 \(a_i\) 连边。

随便造一组强一点的数据：

10
3 1 2 10 10 8 9 20 8 2

图大概长这样

容易发现每个 \(i\) 有且仅有 \(1\) 条出边。

• 发现图中 \(1,2,3\) 这 \(3\) 个点组成了一个环。在这个环上，每个人都能做到自己心仪的位置上，所以这个环对答案的贡献是这个环包含的点的数量。

• 当一个点 \(>n\) 的时候，就没有办法接着连下去了，于是乎出现了一条链。这条链上每 \(<=n\) 的点都能坐到心仪的位置，对答案的贡献是链上的点数 \(-1\)。

• 当两条链有重合部分的时候，一部分人就不能坐上心仪的座位了。这个重合部分其实就是一棵有向树的树根。从这里出发，只有 \(1\) 条链上的人可以找到心仪的座位，所以对答案的贡献就是以这里为终点的最长链的点数。

于是，题做完了。

由于需要求以 \(k\) 为终点的最长链，所以还要建一个反图。

#include <bits/stdc++.h>
#define gt getchar
#define pt putchar
#define ll long long
const int MAXN = 2e5 + 5;
ll read() {
    ll x = 0, f = 1;char ch = gt();
    while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1;ch = gt();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {x *= 10;x += ch - '0';ch = gt();}
    return x * f;
}
std::vector<ll> z[MAXN], fz[MAXN];
bool vis[MAXN];//记录i有没有计入答案
ll in[MAXN];

void add_edge(ll s, ll e) {
    z[s].push_back(e);//正图
    fz[e].push_back(s);//反图
}
ll n;
void dfs(ll now, ll len, ll &res) {
    //当前搜到了编号为now的点，从根走到这里的长度为len，最终答案为res
    vis[now] = true;
    res = std::max(res, len);//更新答案
    for (int i = 0; i < fz[now].size(); i++) {
        //继续沿着反边往回走
        dfs(fz[now][i], len + 1, res);
    }
}

int main() {
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll x = read();
        add_edge(i, x);//建边
        in[x]++;
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = n + 1; i <= n + n; i++) {
        //每一个 >n 的点都可能是一条链的末端，倒着往前搜
        ll res = 0;
        dfs(i, 0, res);
        ans += res;//更新答案
    }
    std::queue<ll> q;//拓扑排序
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!vis[i] && in[i] == 0) {
            q.push(i);
            vis[i] = true;
        }
    }
    while(q.size()) {
        ll now = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < z[now].size(); i++) {
            ll j = z[now][i];
            in[j]--;
            if(!in[j]) {
                q.push(j);
                vis[j] = true;
            }
        }
    }
    //没有被排序到的点在环里
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!vis[i]) {
            ++ans;
        }
    }
    std::cout << ans << '\n';
    return 0;
}