2-SAT

2-SAT 总结：

• 要有 \(2\) 个变量，形如 x1 AND x2 = true 或 x1 OR x2 = true 之类的，给定 \(m\) 组限制，问在这样的限制条件下有没有一组 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 满足这些限制。

• 基本思路就是对于每个 \(x_i\) 建 \(2\) 个点，分别是 \(x_i\) 的 true 和 \(x_i\) 的 false。然后连边。

• 想仔细怎么建边。这里举 \(3\) 个例子：

  1. x1 AND x2 = true。如果 x1 = true，那么 x2 = true。反之亦然。所以从 \(x_1\) 的 true 向 \(x_2\) 的 true 连一条有向边，从 \(x_2\) 的 true 向 \(x_1\) 的 true 连一条有向边，

  2. x1 OR x2 = true。如果 x1 = false，那么 x2 = true；同理，如果 x2 = false，那么 x1 = true。所以从 \(x_1\) 的 false 向 \(x_2\) 的 true 连一条有向边，从 \(x_2\) 的 false 向 \(x_1\) 的 true 连一条有向边。

  3. x1 = true。考虑从 \(x_1\) 的 false 向 \(x_1\) 的 true 连一条有向边。如果 \(x_1\) 为 false，那么 \(x_1\) 为 true。这种逻辑显然是矛盾的。至于为什么，马上就说。

• 我们把边建好之后跑一遍 Tarjan，如果 \(x_i\) 的 true 和 false 在同一个连通块里，就说明从 \(x_i\) 为 false 可以推导出 \(x_i\) 为 true。这种逻辑显然是矛盾的，所以没有解；反之则有解。

• 可以用 \(x\) 表示 true，用 \(x+n\) 表示 false。

代码（以 P4782 为例）：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 4e6 + 5;

int n, m;
vector<int> z[MAXN];//z[x]为真,z[x + n]为假
int dfn[MAXN], low[MAXN];
int st[MAXN], tail;
bool inst[MAXN];
int belong[MAXN], cnt;
int t;

void add_edge(int i, int a, int j, int b) {
	if(a == 0 && b == 0) {
		z[i].push_back(j + n);
		z[j].push_back(i + n);
	}
	else if(a == 0 && b == 1) {
		z[i].push_back(j);
		z[j + n].push_back(i + n);
	}
	else if(a == 1 && b == 0) {
		z[i + n].push_back(j + n);
		z[j].push_back(i);
	}
	else {
		z[i + n].push_back(j);
		z[j + n].push_back(i);
	}
}

void dfs(int now) {
	t++;
	dfn[now] = low[now] = t;
	inst[now] = true;
	st[++tail] = now;
	for (int i = 0; i < int(z[now].size()); i++) {
		int j = z[now][i];
		if (!dfn[j]) {
			dfs(j);
			low[now] = min(low[now], low[j]);
		}
		else {
			if(inst[j]) low[now] = min(low[now], dfn[j]);
		}
	}
	if(low[now] == dfn[now]) {
		cnt++;
		belong[now] = cnt;
		while(st[tail] != now) {
			belong[st[tail]] = cnt;
			inst[st[tail]] = false;
			tail--;
		}
		inst[st[tail]] = false;
		tail--;
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int k = 1; k <= m; k++) {
		int i, a, j, b;
		scanf("%d%d%d%d", &i, &a, &j, &b);
		add_edge(i, a, j, b);
	}
	for (int i = 1; i <= n + n; i++) {
		if(!dfn[i]) dfs(i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(belong[i] == belong[i + n]) {
			printf("IMPOSSIBLE");
			return 0;
		}
	}
	printf("POSSIBLE\n");
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		printf("%d ", (belong[i] < belong[i + n]));
	}
	return 0;
}