拉格朗日差值法学习笔记

拉格朗日差值法学习笔记

1.定义：

拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。

给出不同的自变量下的函数值，拉格朗日插值法能找出恰好满足所有条件的多项式。

2.定义式：

我们仔细观察可以发现，当k等于任意x[i]时，对于所有i’！=i，连乘中定有k=x[i]=x[j],

而对于i'=i,对于任何j!=i’,k-x[j]=x[i']-x[j]:

而我们知道n+1个x不同的点可以确定n次多项式

则f(k)定为n次多项式下k的函数值。

3.特殊情况：

当x[i]值连续时，可将式子化简为：

不妨设：

       

则可预处理出pre_i，和suf_i，观察可以发现，分母可以表示为阶乘之积的形式，则又可化简：

可以在线性时间内求出来。