BZOJ3930 [CQOI2015]选数

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本文作者：ljh2000
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Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

 

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

 

Output

输出一个整数，为所求方案数。

 

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

 

 

 

正解：组合数学+容斥原理

解题报告：

　　考虑我们需要求区间取出$n$个数使得这$n$个数$gcd$为$k$的方案数。

　　那么我可以转化为求$[l/k,h/k]$中$gcd$为$1$的方案数。

　　这样的话就可以容斥了。

　　首先有一个结论，如果$N$个数不全相同，那么他们的最大公约数小于等于$N$个数的极差。

　　所以我们枚举的范围可以缩小到$10^5$。考虑一个数i，显然若$n$个数的$gcd$为$i$，至少要都是i的倍数。

　　组合数学算一下有多少种方案，值得注意的是，我这个方法的正确性的前提就是$n$个数不全相等。

　　但是$gcd=2*i$或者$3*i$的，就会被重复计算。

　　所以我需要减掉$i$的倍数的方案数，才能得到$gcd$恰好=i的方案数。

　　最后我们需要考虑的是所有数都相等的情况，这种情况特判一下$K$是否在$L$到$H$之间即可。

 

 

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
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#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100011;
const int MOD = 1000000007;
int n;
LL f[MAXN],len,L,H,k;

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline LL fast_pow(LL x,LL y){
	LL r=1;
	while(y>0) {
		if(y&1) r*=x,r%=MOD;
		x*=x; x%=MOD;
		y>>=1;
	}
	return r;
}

inline void work(){
	n=getint(); k=getint(); L=getint(); H=getint();
	len=(H-L); LL nowl,nowr;
	for(int i=len;i>=1;i--) {
		nowl=(L-1)/(k*i); nowr=H/(k*i);
		if(nowl<nowr) {
			f[i]=fast_pow(nowr-nowl,n);
			f[i]-=nowr-nowl;
			f[i]+=MOD;
			f[i]%=MOD;
		}
		for(int j=2;j*i<=len;j++) f[i]-=f[j*i],f[i]%=MOD;
		f[i]+=MOD; f[i]%=MOD;
	}
	if(L<=k && k<=H) f[1]++; f[1]%=MOD;
	printf("%lld",f[1]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}