BZOJ3505 [Cqoi2014]数三角形

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76


数据范围
1<=m,n<=1000

 

正解：组合数学

解题报告：

　　这道题高一NOIP停课的时候考过原题...

　　正难则反，无法直接求三角形的数量就可以考虑所有的方案减去不构成三角形的情况。

　　显然只选出三个点的方案数为C((n+1)*(m+1),3),减去横着的：(m+1)*C(n+1,3)，和竖着的：(n+1)*C(m+1,3)再减掉斜着的。斜着的计算起来比较复杂，考虑如果我只讨论经过左下角那个点（不妨设为原点）的情况，那么在我枚举了另一个端点(i,j)之后就可以唯一的确定一条直线，而这条直线上的点数可以用gcd(i,j)+1来表示，这个应该还比较好理解，就是得到一个直线解析式或者用相似来理解也行。只有在点数大于2的时候才会有贡献，且我们考虑这条直线可以平移，并且可以关于y轴对称后再平移，所以贡献就很明了了。

　　即ans=$C ^ {3}_{(n+1)*(m+1)}$ $ -  (m+1)* C ^ {3}_{n+1}  -$ $(n+1)* C ^ {3}_{m+1}-$斜着的方案数

　　斜着的方案数求法看代码吧......

　　  ps：我为了追求速度，预处理了两两的gcd，并且把组合数递推换成了直接暴力算。 

 

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#include <string>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1011; 
int n,m,G[MAXN][MAXN];
LL ans;
inline int gcd(int x,int y){ if(y==0) return x; return gcd(y,x%y); }
inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void work(){
    n=getint(); m=getint(); n++; m++; if(n<m) swap(n,m); LL lim=n*m; int now;
    ans=lim*(lim-1)*(lim-2)/6; ans-=(LL)m*n*(n-1)*(n-2)/6; ans-=(LL)n*m*(m-1)*(m-2)/6; 
    for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i;j<n;j++) G[i][j]=gcd(i,j),G[j][i]=G[i][j];
    for(int i=1;i<n;i++) 
        for(int j=1;j<m;j++) {
            now=G[i][j]; now++;
            if(now>2) ans-=2*(now-2)*(n-i)*(m-j);
        }
    printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}