UOJ263 【NOIP2016】组合数问题

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题目描述

组合数 CmnCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 CmnCnm 的一般公式：

 

Cmn=n!m!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!

 

其中 n!=1×2×⋯×nn!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=10!=1。

小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

输入格式

从标准输入读入数据。

第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式

输出到标准输出。

tt 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

样例一

input

1 2
3 3

output

1

explanation

在所有可能的情况中，只有 C12=2C21=2 是 22的倍数。

样例二

input

2 5
4 5
6 7

output

0
7


正解：矩阵前缀和+组合数学
解题报告：
　　

　　这是一道很简单的数学题，可以发现其实如果根据组合中的一个基本公式：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),就可以直接递推出2000以内的所有的组合数。而我们只需要判断有多少个点对满足是k的倍数，很容易想到只要对k取模，对于为0的C(i,j)是肯定满足是k的倍数的。

　　因为k是所有询问共用的，可以一开始就预处理出矩阵前缀和，之后每次O(1)查询就可以了。

 

注意事项：

　　很多人在考场上写的是质因数分解，但是很明显有一些k并不是质数，所以并不能直接分解，应该先对k进行质因数分解，在对于这些质因数在递推中分析。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 2011;
int T,k,n,m,ans;
int C[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN];

void work(){
    scanf("%d%d",&T,&k);
    C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2000;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];            
            C[i][j]%=k;
            if(C[i][j]==0) {
                a[i][j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=2000;i++)
        for(int j=1;j<=2000;j++)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];

    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&m); m=min(m,n);
        printf("%d\n",sum[n][m]);
    }
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}