UOJ261 【NOIP2016】天天爱跑步
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Description
Input
Output
输出1行N 个整数,第个整数表示结点的观察员可以观察到多少人。
Sample Input
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6
Sample Output
HINT
25分
考虑此时$n$很小，可以对于每条路径上暴力模拟，经过某个点时可以看一下当前时刻，是否跟经过的点的$w$相等，如果相等，则贡献加一。
45分
注意到测试点$9-12$时，保证$m$条路径的出发点都是$1$，那么我们可以考虑如果将$1$作为树根，那么一条路径怎样才能对于它经过的点产生贡献。
不难看出对于一个点$i$，只有在$deep[i]=w[i]$，才有可能有贡献。
我在考场上是直接用的链剖$+$线段树，因为这就变成模板题了，而且$n$不到$10w$，尽管复杂度偏高，但是不易错。
直接对于每条路径经过的点在线段树上增加$1$次经过次数，显然只有$deep$与$w$相等的点才会产生贡献。
事实上对于$S=1$的情况有线性的算法，正解会详细介绍，不再赘述。
60分
注意到测试点$6-8$时，题目保证树退化成链。我们观察一下对于链而言，有什么特别的地方。首先要明确，此时m条路径在链上肯定是要么往左要么往右，即$S<=T$或者$S>T$。
先只考虑$S<=T$的情况，如果对于$S$到$T$之间的点i，要产生贡献的话，肯定满足$i-S=w[i]$，移项可得$S=i-w[i]$时才可以满足要求。
注意到等式右边只与$i$本身有关，不妨设为$K[i]$，所以题目变成了查询$S$到$T$之间$K[i]$等于$S$的$i$的数量。
因为题目只涉及到首和尾，我们可以很容易联想到差分，即对于$S$打上$+1$标记，$T$打上$-1$标记。
根据上述思路，我们考虑具体做法：对于每个点$i$,我们很容易发现只有从一个特定的点出发才有可能对$i$产生贡献。
我们考虑维护一个统计数组$A$，$A[k]$表示的是处理到当前的结点时，从$k$出发的路径（而且还没有走到终点）有多少条。
这样对于每个点$i$，我们只要查询一下所对应的$A[K[i]]$就可以了，根据上面的分析，这就是我们的答案了。
有一点注意处理：处理一个点$i$时，我们需要把以$i$为起点的路径加入统计数组$A$，再计算这个结点的贡献，最后再把以这个结点为终点的路径从$A$中消除，具体可以用$vector$实现（上述处理顺序的必要性仔细想想就很容易想通了）。
而对于$S>T$的情况完全类似，只是需要把$K[i]$定义为$i+w[i]$，其余做法完全类似。
100分
题目中设计的几个档次的部分分其实暗示已经很明显了。
链的做法离正解就不远了。
而$S=1$和$T=1$是在告诉我们什么呢？
拆路径！
很容易发现，一条$S$到$T$的路径可以拆成一条$S$到$LCA$的路径和$LCA$到$T$的路径，然后对于这两条路径，一条往上，一条往下，都可以对应成链的处理方式了！
考虑对于每条路径，先将其拆分成两条路径（为了简化对$LCA$在两条路径中都出现的各种情况，我们可以先就让$LCA$出现两次，如果最后发现$LCA$是有贡献的，只需$-1$即可），同样，我们先只考虑向上的路径。
如果我们对于$S$在统计数组$A$上打上$1$的标记，$LCA$在统计数组$A$上打上$-1$的标记，那么题目转化为求一个点的子树和。
考虑上述做法正确性：因为只有$S$到$LCA$路径之间的点会产生贡献，而当这个点位于路径之间时，子树和会产生$1$的贡献，而在$S$的子树中或者$LCA$的上方都不会产生贡献。
具体实现呢？
对于一个点$i$，产生贡献的条件是$deep[S]-deep[i]=w[i]$，同样令$K[i]=deep[i]+w[i]$，当我们$dfs$到$i$时查询$A[k[i]]$的值即为贡献。
为了保证正确性，我们思考统计答案的方式和顺序。
首先我们肯定是在处理完$i$的子树之后再来处理$i$（想想就知道了），然后我们需要再把以$i$出发的向上的路径加入统计数组，再进行查询，最后把以$i$为终点的路径所产生的贡献在统计数组$A$中消除即可。
注意到我们上面维护的仅仅是一个点的深度，由于同一深度的点很多，所以我们查询的时候会发现会把不在同一子树的点统计入答案，那怎么办呢？我们考虑对于一个点要查询子树和，肯定是只要单独地考虑这一个子树的贡献，所以我们可以记录进入$i$时$A[k[i]]$的值，再在访问完$i$的子树之后统计答案时，看一下此时新的$A[k[i]]$的值。
容易发现新的值减掉进入时的，才是真正的$i$的子树中的$A[k[i]]$的值。
这样我们就可以避免把别的子树的答案统计进来了。
对于向下的点做法类似，有一点复杂的地方就是等式变成了$deep[T]-deep[i]=len-w[i]$（$len$为路径长度），发现如果这样做的话会出现负数，那么我们就把统计数组向右平移$3*10^5$位就可以了。
上述做法如果采用的是倍增求$LCA$的话，复杂度就是$O(nlogn)$；
如果用$tarjan$离线求$LCA$的话，可以做到$O(n+m)$。
注意事项
对于树上每个结点，统计答案时不能直接查询在统计数组中的对应的路径条数，
而应该统计$dfs$进入$i$时，和访问完$i$的子树时的变化量。
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