BZOJ1911 [Apio2010]特别行动队

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Description

Input

Output

Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

 

 

 

正解：DP+斜率优化

解题报告：

　　朴素DP很好想，就是$${f[i]=max(f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c) (j<i)}$$

　　但是只有50分，考虑优化。

　　因为这个式子一看就很可推，试着证明有没有单调性或者可以弄出斜率...

　　如果j>k,且j比k更优，当且仅当

　   $${f[j]-f[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*(sum[k]-sum[j])>2*a*(sum[j]-sum[k])*sum[i]}$$

　　移过去就是$${\frac {f[j]-f[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*(sum[k]-sum[j])}{2*a*(sum[j]-sum[k])} < sum[i] }$$

　　（ps：带a的那个式子，就是分母，是小于0的，所以要变号...）

　　 然后维护一个斜率单增的单调队列，相当于是一个下凸的凸包，就ok了。

 

//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = (1<<30);
const int MAXN = 1000011;
int n;
LL a,b,c;
LL s[MAXN],f[MAXN];
int dui[MAXN],head,tail;

inline int getint()
{
    int w=0,q=0; char c=getchar();
    while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
    while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
}
inline LL count(int x,int y){   return ( (f[x]-f[y])+a*(s[x]*s[x]-s[y]*s[y])-b*(s[x]-s[y]) )/(a*2*(s[x]-s[y])); }
inline void work(){
    n=getint(); a=getint(); b=getint(); c=getint(); int x;
    for(int i=1;i<=n;i++) x=getint(),s[i]=s[i-1]+x;
    head=tail=1; dui[tail]=0; int from;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
    while(head<tail && count(dui[head+1],dui[head])<s[i]) head++;
    from=dui[head]; f[i]=f[from]+a*(s[i]-s[from])*(s[i]-s[from])+b*(s[i]-s[from])+c;
    while(head<tail && count(dui[tail-1],dui[tail])>count(dui[tail],i)) tail--;
    dui[++tail]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}