BZOJ2432 [Noi2011]兔农

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 本文作者：ljh2000
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Description

 农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。

问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？

聪明的你可能已经发现，第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。

每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足k对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。

我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当k=7时，前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …

给定n，你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。

Input



输入一行，包含三个正整数n, k, p。

Output

 

输出一行，包含一个整数，表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。

Sample Input



6 7 100

Sample Output



7

HINT

 

 1<=N<=10^18


2<=K<=10^6

2<=P<=10^9

 

Source

Day1

 

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正解：矩乘快速幂+规律+公式
解题报告：
　　写的时候受这篇博客启发比较大：http://blog.csdn.net/u011265346/article/details/46331419，感觉写的很好。
　　考虑斐波那契数列递推，肯定是矩乘，但是在模k意义下为1时需要减一，这似乎不能直接矩乘了。考虑在每次模k等于1之前进行矩乘快速幂，做到模k等于1的时候就特殊处理，再进行同样的操作。
　　以样例的k=7做个说明，以下为模k意义下的数：　
　　1,1,2,3,5,0, 
　　5,5,3,0, 
　　3,3,6,2,0, 
　　2,2,4,6,3,2,5,0,5,5,3,0, 
　　3,3,6,2,0, 　

　　是不是很有规律？

　　会发现每行第一个数是上一行最后一个非0数（这不是废话吗，0+任何数=自己啊...），而这一行的第i个数=第一个数×斐波那契数列的第i个数取模即可得到。

　　这就在暗示我们或许可以做了！令这一行的长度为len，那么第一个数×fib[len]=1(mod k)，我们可以通过已知得到fib[len] 的值，假如我们预处理出斐波那契数列在模k意义下的值，就可以做出每个模第一次出现的位置，就从而得到长度。所以只要对第一个数求个逆元就可以了，但是模数可能不是质数...那就上exgcd！当然如果没有逆元，意味着可以直接快速幂结束了...

　　但是这似乎还是会T，观察到上述序列很有可能出现循环节！就比如样例中的这个序列，我们没有必要反复计算，可以考虑一个循环节视为一个整体，对这个整体矩乘快速幂，剩下的零头再单独做，就可以完美解决这道题了。　　 

 

  1 //It is made by ljh2000

  2 #include <iostream>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cstring>
  5 #include <cstdio>
  6 #include <cmath>
  7 #include <algorithm>
  8 #include <ctime>
  9 #include <vector>
 10 #include <queue>
 11 #include <map>
 12 #include <set>
 13 using namespace std;
 14 typedef long long LL;
 15 const int inf = (1<<30);
 16 const int MAXN = 1000011;
 17 const int MAXL = 6000011;
 18 LL n,fir;
 19 int k,MOD;
 20 int fib[MAXL],vis[MAXN],len[MAXN];
 21 LL F[MAXN];//每个开头的数对应的使得其最后一个数为1的斐波那契数
 22 bool hav[MAXN];//这个k意义下的模数作为开头是否出现过
 23 struct matrix{
 24     int n,m;
 25     LL s[3][3];
 26 }ans,ini,dan,mul,jian,I,old[MAXN];
 27 
 28 inline matrix operator * (matrix a,matrix b){
 29     matrix tmp=ini; tmp.n=a.n; tmp.m=b.m;
 30     for(int i=0;i<a.n;i++) 
 31     for(int j=0;j<b.m;j++) 
 32         for(int l=0;l<a.m;l++)
 33         tmp.s[i][j]+=a.s[i][l]*b.s[l][j],tmp.s[i][j]%=MOD;
 34     return tmp;
 35 }
 36 
 37 inline int getint()
 38 {
 39     int w=0,q=0; char c=getchar();
 40     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
 41     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
 42 }
 43 inline LL gcd(LL x,LL y){ if(y==0) return x; return gcd(y,x%y); }
 44 inline matrix fast_pow(matrix a,LL y){ matrix tmp=dan; while(y>0) { if(y&1) tmp=tmp*a; a=a*a; y>>=1; } return tmp;  }
 45 inline LL exgcd(LL aa,LL bb,LL &x,LL &y){
 46     if(bb==0) {
 47     x=1; y=0;
 48     return aa;
 49     }    
 50     LL cun=exgcd(bb,aa%bb,x,y),lin=x;
 51     x=y; y=lin-(aa/bb)*y;
 52     return cun;
 53 }
 54 inline void out(){ if(n!=0) ans=ans*fast_pow(mul,n); ans.s[0][1]%=MOD; ans.s[0][1]+=MOD; ans.s[0][1]%=MOD; printf("%lld",ans.s[0][1]); exit(0); }
 55 inline void work(){
 56     scanf("%lld",&n); k=getint(); MOD=getint(); fib[1]=fib[2]=1;
 57     for(int i=3;;i++) {//斐波那契数列的模k意义下的循环节不超过6*k
 58     fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2]; fib[i]%=k;
 59     if(!vis[fib[i]]) vis[fib[i]]=i;
 60     if(fib[i-1]==1 && fib[i]==1) break;
 61     }
 62     for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++) ini.s[i][j]=0; for(int i=0;i<3;i++) dan.s[i][i]=1; jian=dan; ans.s[0][0]=ans.s[0][2]=1;
 63     ans.n=1; ans.m=3; mul.n=mul.m=jian.n=jian.m=dan.n=dan.m=3; bool FFF=false;
 64     mul.s[0][1]=mul.s[1][0]=mul.s[1][1]=mul.s[2][2]=1; jian.s[2][1]=-1; fir=1; LL xx,yy,gg; 
 65     for(;n;) {
 66     if(F[fir]==0) {
 67         gg=gcd(fir,k); if(gg!=1) F[fir]=-1;
 68         else { exgcd(fir,k,xx,yy); xx%=k; xx+=k; xx%=k;/*exgcd!!!*/ F[fir]=xx;  }
 69     }
 70     if(F[fir]==-1) out();
 71     if(!hav[fir] || FFF) {//未出现过
 72         if(!vis[F[fir]]) out();//不存在这种模数
 73         len[fir]=vis[F[fir]];//出现的第一个位置             
 74         if(n>=len[fir]) {
 75         old[fir]=fast_pow(mul,len[fir]);
 76         n-=len[fir];
 77         }
 78         else out();
 79         old[fir]=old[fir]*jian; 
 80         ans=ans*old[fir];
 81         hav[fir]=1;  fir*=fib[len[fir]-1]; fir%=k; 
 82     }
 83     else{//出现循环节        
 84         LL ff=fir; LL cnt=0/*!!!*/;//统计计算的次数
 85         I=dan;
 86         for(ff=fir*fib[len[fir]-1]%k;ff!=fir;(ff*=fib[len[ff]-1])%=k){
 87         I=I*old[ff]; cnt+=len[ff]; 
 88         }        
 89         cnt+=len[ff]; I=old[ff]*I;/*矩乘不满足交换律！！！*///I=I*old[ff];
 90         ans=ans*fast_pow(I,n/cnt);
 91         n=n%cnt; FFF=true;//标记
 92     }
 93     }
 94     out();
 95 }
 96 
 97 int main()
 98 {
 99     work();
100     return 0;
101 }

 

 
posted @ 2016-10-29 15:18  ljh_2000  阅读(1771)  评论(0)  编辑  收藏  举报