BZOJ1497 [NOI2006]最大获利

Description

新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是 机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研 究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的 地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。另外公司调 查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N） THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才 能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

Input

输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。

Output

你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

Sample Output

4

HINT

【样例说明】选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得 到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中：N≤200，M≤1 000。 100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。

 

正解：最大流、最小割

解题报告：

　　线性规划与网络流二十四题的第二题，因为今天考萎了，所以我愤然开坑，立下flag要刷完网络流24题。

　　这道题的模型和T2一模一样，都是最大权闭合子图。上一发题解：

　　考虑题意给我们的是一张带点权的有向图，并且要求我们求这个图的最大权闭合子图，得到方案和最大权。闭合子图的定义是对于一个闭合子图V中的任意点S都有S的所有边的出点也属于V。

　　也就是说如果我们选择了某个点那么它的出点全都可以而且必须选进图中，我们需要最大化图中的点权和。

　　乍一看我感觉是DP后来发现无从设计状态，而且似乎有后效性。果断建立网络流模型，首先建立S向所有正权点（即图中所说的收益点）连一条边而且容量为该点点权，图中原有边的容量为INF，所有负权点向T连一条容量为该点点权的绝对值的边。

　　因为要最大化图中的点权和，显然我们期望选取尽可能多的正权点，但是每当我们选取了正权点我们就不得不选取一些正权点连接的其他负权点。同时，如果我们在选取正权点的时候所带来的负权点还要负的更多显然我们不能选这个正权点。不妨设tot为所有正权点的点权和，我们希望得到一个最大值ans，并且等于选取的正权和-负权绝对值和。所以ans=tot-不选取的正权和+负权绝对值和，即ans=tot-(不选取的正权和-负权绝对值和)

　　考虑建立的模型的可行性。如果我们对于这个建好的图跑最小割，那么我们可以得到靠近S的一边和靠近T的一边。很容易想到靠近S的一边中的所有点就是我们要求的所有应该选取的点。如果S的出边是满流的，即是最小割中的边，那么说明这个正权点的选取不利于总答案，因为他不能使他连接的边满流，所以由于这条边处在最小割中，则这个正权点处于靠近T的一边，不能选。反之，若T的一条入边满流，说明要求他的正权点的权足以超过所有约束的点的绝对值和，则正权点和他相连的所有点的要划入最终要选取的方案中。

　　这就是算法的可行性。显然，最小割等于最大流，所以我们只需对图跑一遍Dinic就可以了。

　　方案的话DFS一遍能到达的地方都是与S相连的集合中的点。

 　　

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#ifdef WIN32   
#define OT "%I64d"
#else
#define OT "%lld"
#endif
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 55011;
const int MAXM = 500011;
const int inf = (1<<29);
int n,m,S,T;
int first[MAXN],ecnt,deep[MAXN];
int ans,tot;
queue<int>Q;
struct edge{
    int to,next,f;
}e[MAXM];

inline int getint()
{
       int w=0,q=0;
       char c=getchar();
       while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar();
       if (c=='-')  q=1, c=getchar();
       while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar();
       return q ? -w : w;
}

inline void link(int x,int y,int z){
    e[++ecnt].next=first[x]; first[x]=ecnt; e[ecnt].to=y; e[ecnt].f=z;
    e[++ecnt].next=first[y]; first[y]=ecnt; e[ecnt].to=x; e[ecnt].f=0;
}

inline bool BFS(){
    while(!Q.empty()) Q.pop();
    for(int i=1;i<=T;i++) deep[i]=inf;
    Q.push(S); deep[S]=1;
    while(!Q.empty()) {
    int u=Q.front(); Q.pop();
    for(int i=first[u];i;i=e[i].next) {
        if(e[i].f && deep[e[i].to]==inf) {
        Q.push(e[i].to); deep[e[i].to]=deep[u]+1;
        }
    }
    }
    if(deep[T]==inf) return false;
    return true;
}

inline int maxflow(int x,int remain){
    if(x==T || remain==0) return remain;//剪枝
    int flow=0,f;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next) {
    if(e[i].f && deep[e[i].to]==deep[x]+1) {
        int v=e[i].to; f=maxflow(v,min(remain,e[i].f));
        if(f) {
        flow+=f; e[i].f-=f; e[i^1].f+=f;
        remain-=f;
        if(remain==0) return flow;
        }
        else deep[v]=-1;
    }
    }
    return flow;
}

inline void work(){
    n=getint(); m=getint(); ecnt=1;
    S=m+n+1;T=S+1; int x; 
    for(int i=1;i<=n;i++) x=getint(),link(i,T,x); 
    for(int i=1;i<=m;i++) {
    x=getint(); link(i+n,x,inf);
    x=getint(); link(i+n,x,inf);
    x=getint(); tot+=x; link(S,i+n,x);       
    }       
    while(BFS()) { ans+=maxflow(S,inf); }
    printf("%d",tot-ans);
}

int main()
{
  work();
  return 0;
}