树状数组区间修改区间查询

问题——两种操作

给定 $l, r, x$ ,将 $[l, r]$ 这个区间内的所有值都加上 $x$
给定 $l, r$ 求出 $[l, r]$ 的区间和

这道题肯定要用前缀和和差分，那么大体框架可以出来了

//操作一：
update(l, x), update(r + 1, -x);
//操作二
query(r) - query(l - 1)

那么怎么将这两个东西串在一起呢？

设 $a$ 为原数组， $s u m$ 为前缀和数组，则：

s u m_{k} = \sum_{i = 1}^{k} a_{i}

再设 $b$ 为差分数组，根据定义，易得：

a_{k} = \sum_{i = 1}^{k} b_{i}

放在一起可以得到：

s u m_{k} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{i} b_{j}

可以发现 $b_{1}$ 被使用了 $k$ 次， $b_{2}$ 被使用了 $k - 1$ 次，可以发现，对于 $s u m_{k}$ , $b_{i}$ 被用了 $k - i + 1$ 次，所以可以把原式转化成：

s u m_{k} = \sum_{i = 1}^{k} b_{i} \times (k - i + 1)

由于 $k + 1$ 对原来的式子没有任何影响，可以提取出来，这样再转化得

s u m_{k} = (k + 1) \sum_{i = 1}^{k} b_{i} - \sum_{i = 1}^{k} b_{i} \times i

这样我们只要分别维护 $b_{i}$ 和 $b_{i} \times i$ 的前缀和就可以了

对于 $update$

void update(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr1[i] += k, tr2[i] += k * x; 
}

对于 $query$

ll query(int x)
{
    ll ans = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i))
       	ans += tr1[i] * (x + 1) - tr2[i];
   	return ans;
}

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本文作者：ljfyyds
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