NIM游戏

【模板】nim 游戏

题目描述

甲，乙两个人玩 nim 取石子游戏。

nim 游戏的规则是这样的：地上有 $n$ 堆石子（每堆石子数量小于 ${10}^4$），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 $n$ 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行一个整数 $T$ （$T\le 10$），表示有 $T$ 组数据

接下来每两行是一组数据，第一行一个整数 $n$，表示有 $n$ 堆石子，$n\le {10}^4$。

第二行有 $n$ 个数，表示每一堆石子的数量.

输出格式

共 $T$ 行，每行表示如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出 Yes，否则输出 No。

样例 #1

样例输入 #1

2
2
1 1
2
1 0

样例输出 #1

No
Yes

结论

如果有 $n$ 堆石子，每堆石子的个数分别为：$a_1,a_2,a_3,a_4......a_n$，若： $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\ne 0$ 则先手必胜，否则先手必输。

操作到最后的时候是 $0\oplus 0\oplus 0\oplus ...\oplus 0=0$

在操作过程中 如果 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\ne 0=x$ 那么我们可以将结果异变成 $0$

证明

不妨设 $x$ 的二进制最高位 $1$ 在第 $k$ 位，那么 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 中，必然有一个数字 $a_i$ 第 $k$ 位为 $1$ 。

因为 $x$ 是异或而来的。$a_i\oplus x<a_i$ (异或后，第 $k$ 位会变成 $0$)。

从第 $i$ 堆石子拿走 $a_i-(a_i\oplus x)$ 个石子，第 $i$ 堆还剩

$$a_i-[a_i-(a_i\oplus x)]$$

$$=a_i-a_i-(a_i\oplus x)$$

$$=a_i\oplus x$$

此时 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\oplus x=x\oplus x=0$

那么这时候通过此项操作，我们可以把操作分为两种情况

1. 如果先手面对的局面是 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\ne 0$，

那么先手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成$a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n=0$。 后手只能 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\ne 0$ 的情况。

由于游戏一定可以结束，从而到最后的时候先手拿走最后一些石子，留给后手无石子可拿,先手必胜。

2. 如果先手面对的局面是 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n=0$

那么无论先手怎么拿，都会将局面变成 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n\ne 0$，那么后手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成 $a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus a_4...\oplus a_n=0$。

如此重复，最后一定是先手面临最终没有石子可拿的状态。先手必败。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if (res == 0)
        puts("No");
    else
        puts("Yes");
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：ljfyyds
本文链接：https://www.cnblogs.com/ljfyyds/p/17535597.html
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