取石子

取石子

首先我们看一下:

简单情况：所有堆的石子个数>1

设 $b=$ 堆数+石子总数-1，

那么我们可以确定当 $b$ 是奇数时，那就是必胜局面。

因为我们合并堆的话要堆数次，取石子的话要取石子总数次，加起来就是总共需要的操作次数，然后有的时候为不仅取一个堆，还会去掉石子，所以减掉1。

接下来说明为什么当 $b$ 是奇数时，那就是必胜局面。

1. 任何一个奇数的状态都一定存在一个偶数后继。

2. 任何一个偶数所有后继必然是奇数。

这里插入一个特例，

只有一堆且这一堆只有一个，$b=1+1-1=1$ 那么这个东西就是一个必胜局面。

证明1

1. 如果堆数大于1，那么我们就合并两堆
2. 如果堆数等于1，那么就取一个石子就可以了。

证明2：

1. 合并两堆
2. 取一个石子
3. 取石子前的个数>2的话，就可以了。
4. 如果等于2
   1. $2-1=1$ 如果为一堆的话根据特例就一定可以
   2. 多余一堆就直接合并即可

我们接下来的话继续讨论第二种也就是说

石子个数为1的堆，我们将这种堆的数量为 $a$ 。

我们设 $f(a,b)$ 来进行递推($a,b$ 定义见上)

1. 从 $a$ 中取一个，$f(a-1,b)$
2. 从 $b$ 中取一个 $f(a,b-1)$
3. 合并 $b$ 中的两个 $f(a,b-1)$
4. 合并 $a$ 中的两个 $f(a-2,b+3)$
5. 合并1个 $a$, 一个 $b$ $f(a-1,b+1)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 55, M = 50050;
int f[N][M];

int dp(int a, int b)
{
    int &v = f[a][b];
    if(v != -1) return v;
    if(!a) return v = b % 2;
    if(b == 1) return dp(a + 1, 0);
    
    if(a && !dp(a - 1, b)) return v = 1;
    if(b && !dp(a, b - 1)) return v = 1;
    if(a >= 2 && !dp(a - 2, b + (b ? 3 : 2))) return v = 1;
    if(a && b && !dp(a - 1, b + 1)) return v = 1;
    
    return v = 0;
}

int main()
{
    memset(f, -1, sizeof(f));
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T -- )
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int a = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            if(x == 1) a ++ ;
            else b += b ? x + 1 : x;//如果b大于0，那么就加x+1(还会有一堆)，否则加x
        }
        if(dp(a, b))
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}

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本文作者：ljfyyds
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