并查集学习笔记

很抱歉这篇博客晚来了(该放在Kruskal前面的)......

并查集，故名思意，就是用来高效进行合并、查询集合的数据结构，为了方便，我们可以把每一个结点看成树形结构即可。

1.查询

Q1：我们该如何查询某一个结点在哪一个集合呢？

A1：我们知道如果需要区分开所有集合，就应该用一个代表来表示这个集合，在这里，我们把这个集合的根节点看作那个代表即可。

Q2：我们该如何判断两个结点 $x, y$ 是否在一个集合呢？

A2：我们可以从 $x, y$ 不停往上递归，只要遍历到那个根节点代表即可。

Q3：如何递归？

A3：我们设 $f a_{x}$ 为 $x$ 的父亲，然后将根节点 $r o o t$ 的 $f a_{r o o t}$ 设为 $r o o t$ ，然后我们不停往上递归，判断这个结点的 $f a$ 值是否为本身即可。

code:

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x) return x;
    return find(fa[x]);
}

但是我们发现如果这个集合是一条链的话，如图：

(图来来自菜鸟）

时间复杂度会退化成 $O (n)$ ，那么这时候我们就要采用路径压缩来做，每做一次，就将 $f a_{x} = r o o t$ ,这样后面继续进行查找时间复杂度就会成为优秀的 $O (1)$

code:

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

2.合并

Q1:如何合并 $x, y$ 两个集合?

A1:将 $x$ 集合的根节点拉一条边朝向 $y$ 集合的祖先。

code:

void merge(int x,int y)
{
    fa[find(x)] = find(y);
}

习题

接下来我们通过一些习题来认识一些特殊的并查集

1.P3367 【模板】并查集

普通并查集，套用刚刚的模板即可。

2.P1196 [NOI2002] 银河英雄传说

带权并查集，我们设 $d_{i}$ 为 $i$ 到此集合根节点的距离，由于统计的是边的数量，所以我们最后统计答案的时候要将他变为 $d_{b} - d_{a} - 1$ 。

(1)查询的变化

当我们没有迭代到根节点的时候，首先弄出根节点 $r o o t$ ，然后将 $d_{x}$ 加上 $d_{f a_{x}}$ ，接着再路径压缩

int find(int x)
{
    if(fa[x] != x)
    {
        int root = find(fa[x]);
        d[x] += d[fa[x]];
        fa[x] = root;
    }
    return fa[x];
}

(2)合并的变化

我们再维护一个 $s i z$ 数组，当 $x$ 和 $y$ 所在的集合要合并时，先按照模板合并，然后将两个集合的 $s i z$ 值相加，接着 $d_{r o o t x} = s i z_{r o o t y}$ 即可(距离 $r o o t y$ 的距离为 $r o o t x$ )

if(fia != fib)
{
    fa[fia] = fib;
    d[fia] = sz[fib];
    sz[fib] += sz[fia];
}

3.P2024 [NOI2001] 食物链

扩展域并查集

我们弄 $3$ 个集合，对于任意一个结点 $i$ :

1 $i$ 表示本身

2 $i + n$ 表示 $i$ 的天敌

3 $i + 2 n$ 表示 $i$ 的猎物

后面两个情况直接特判即可，第一种情况：

如果 $x$ 和 $y$ 是同类，若 $x$ 是 $y$ 的天敌或猎物，那么是假话。
如果 $x$ 吃 $y$ ，若 $x$ 和 $y$ 是同类，那么是假话。
如果 $x$ 吃 $y$ ，若 $x$ 是 $y$ 的猎物，那么是假话。
如果 $x$ 吃 $y$ ，若 $y$ 是 $x$ 的天敌，那么是假话。

代码就不放了。

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本文作者：ljfyyds
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