区间dp学习笔记

具体思路

区间dp，故名思意，就是在一段区间里做动态规划操作，一般的区间dp都运用了如下操作

状态表示： $d p_{i, j}$ 一般表示的是 $i$ 到 $j$ 这一段区间里面的答案，答案为 $d p_{1, n}$
边界处理： $d p_{i, i}$ 只表示一个数字，我们直接按照题意初始化
三层循环，遍历区间长度 $l e n$ ，左节点 $l$ ,易得右节点 $r$ 为 $l e n + i - 1$ ，中间一些判断语句，最后一层循环在区间内寻找断点 $k$ 。

一般的状态转移方程为

$d p_{i, j} = max (d p_{i, j}, d p_{i, k} + d p_{k + 1, j} + . . . . . .)$

至于你前面的 $max$ 还是 $min$ ，我们根据题意来判断，注意我们处理的区间还可以是环状的，这时后我们就要来处理一下边界，并将数组开大，再处理一下即可。

综上所述，一般的区间dp时间复杂度为 $O (n^{3})$ ，空间复杂度为 $O (n^{2})$

习题

1.P1775 石子合并(弱化版)

我们设 $f_{i, j}$ 为 $i$ 到 $j$ 的区间内的最小代价，再用前缀和优化

边界条件： $f_{i, i} = 0$

状态转移方程

f_{l, r} = min (f_{l, r}, f_{l, k} + f_{k + 1, r} + s_{r} - s_{l - 1});

$s$ 数组为前缀和数组，答案为 $f_{1, n}$

2.P4170 [CQOI2007]涂色

我们设 $d p_{i, j}$ 为 $i$ 到 $j$ 的区间内的最小涂色次数

边界条件： $d p_{i, i} = 1$

状态转移方程分成两种情况

1. $s t r_{l} = s t r_{r}$ 的时候

可以想到只需要在首次涂色时多涂一格即可，状态转移方程： $d p_{l, r} = min (d p_{i + 1, j}, d p_{i, j - 1})$

2.否则枚举断点：

$d p_{l, r} = m i n (d p_{l, r}, d p_{l, k} + d p_{k + 1, r});$

for (int x = 1; x < n; x ++ )
{
    for (int l = 1, r = x + 1; r <= n; l ++ , r ++ )
    {
        if(s[l] == s[r]) dp[l][r] = min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]);
        else
            for (int k = l; k < r; k ++ ) dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r]);
    }
}

3.P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链
设 $d p_{i, j}$ 为 $i$ 到 $j$ 的区间内的最大能量

边界条件： $d p_{i, i + 1} = 0$

将 $n$ 个珠子合并弄成 $n + 1$ 个"石头"合并

状态转移方程： $d p_{l, r} = m a x (d p_{l, r}, d p_{l, k} + d p_{k, r} + a_{l} * a_{k} * a_{r});$

典型的环形区间dp

for (int len = 2; len <= n + 1; len ++ )
{
    for(int l = 1, r; l + len - 1 <= n << 1; l ++ )
    {
        r = l + len - 1;
        if(len == 2)
            dp[l][r] = 0;
        else
        {
            for(int k = l + 1; k < r; k ++ )
                dp[l][r] = max(dp[l][r], dp[l][k] + dp[k][r] + a[l] * a[k] * a[r]);
        }
    }
}

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本文作者：ljfyyds
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