递推学习笔记

递推其实就是根据已有的条件推出答案，比较经典的递推有斐波那契数列。

我们设$F(n)$为数列第$n$个数。
$F(x)=F(x-1)+F(x-2)$
其中边界条件为$F(1)=1F(2)=1$

这就是一种递推操作。另外的比较著名的递推还有:汉诺塔、$Catalan$数......但这些题目都不算$dp$,动态规划比这些要复杂多了。

然后递推和递归也有很大的关系，刚开始大家都会先写递归(递归好写一些)，而递推的话会更好，还会防止爆栈问题。

现在我们根据一道例题来深入理解递推操作:

求多少个$n$个数的排列$A$ ，满足对于任意的$i(1\le i\le n)$ 使$A_i\ne i$。
我们考虑递推
首先容易推出来$f(1)=0$因为一个数的全排列只有一个，不可能错排
然后$f(2)=1$ 两数相反就可以

从$3$开始推，我们先考虑$n$个数分别放在$n$个位置有$n$种方法，不放在原位置就是$n-1$种方法

然后看两种情况
1.数$x$放在原位置上，那那么除$l$外的$n-1$个数的方法就有$f(n-2)$种方案(其他数字放在不同的位置)
2.数$x$不放在原位置上,那其他数就乱放，方案数为$f(n-1)$

所以递推式为
$f(n)=(n-1)\ast (f(n-1)+f(n-2))(n>2)$
代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

unsigned long long a[25];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    a[1] = 0;
    a[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i ++ )
        a[i] = (i - 1)*(a[i - 1] + a[i - 2]);
    cout << a[n];
    return 0;
}

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本文作者：ljfyyds
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