浅谈树链剖分
树链剖分主要思想
RT，就是把一颗有根树按照dfs序放在一个连续线性数组当中，用数据结构维护区间操作
通常采用树状数组、线段树（平衡树qwq我不会）等维护
剖分的原则：链尽可能长(目的：减少上调操作)
size[x]表示以x为根节点的子树，有节点个数
重儿子：son[x]在x的诸多儿子中size[x]最大儿子的编号
于是就有重链：一条链沿着他的重儿子son[]走产生的一条链
剖分，每次dfs递归找到重链，剩下的就是轻链，
对于产生的每一条链放在一个连续的数组中（重新编号）用数据结构维护区间操作
两个dfs（预处理easy）：
dfs1处理：
x的重儿子son[x]
以x为根的子树节点个数 size[x]
节点x的深度dep[x]
节点x的父亲节点（root的father人为定义是0）
程序：
int f[MAXN],dep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN]; void dfs1(int u,int fa,int depth)//f[],dep[],son[],size[] { f[u]=fa;dep[u]=depth;size[u]=1; for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fa) continue; dfs1(v,u,depth+1); size[u]+=size[v]; if (size[son[u]]<size[v]) son[u]=v; } }
dfs2处理
w[x]老编号为x在线性数据结构中的新编号（为了一条链连续）
top[x]节点x所在重链的链头所在元素的老编号
*old[x]新编号为x节点的老编号
程序：
void dfs2(int u,int tp) //w[],top[],old[] { w[u]=++cntw;top[u]=tp; old[cntw]=u; if (son[u]!=0) dfs2(son[u],tp); for (int i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==f[u]||v==son[u]) continue; dfs2(v,v); } }
更新操作（mid）
将链u--v上所有元素都加上d
其实还好理解，参考代码（树状数组维护可以采用其他数据结构维护）
void change(int u,int v,int d) //此处u,v都为老编号 { int f1=top[u],f2=top[v]; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); //不同： 保证u这条链头比较深，处理u所在这条链上所有元素 c1.update(w[f1],d); c1.update(w[u]+1,-d); c2.update(w[f1],d*(w[f1]-1)); c2.update(w[u]+1,-d*w[u]); //树状数组维护一下 u=f[f1]; f1=top[u]; //上调到上面那条链 } if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); c1.update(w[v],d); c1.update(w[u]+1,-d); c2.update(w[v],d*(w[v]-1)); c2.update(w[u]+1,-d*w[u]); //树状数组维护一下 剩下的节点 }
查询操作（mid）
基于更新操作，也是调链的方式qwq，只是把维护改为求和
ll lca(int u,int v)//传入的为老编号 { int f1=top[u],f2=top[v]; ll ret=0ll; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); //w[f1]~w[u] ret=ret+getsum(w[f1],w[u]); u=f[f1]; f1=top[u]; } if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); //w[v]~w[u] ret=ret+getsum(w[v],w[u]); return ret%p; }
错误（mistakes）
1.新编号老编号弄不清楚
2.链头迭代没写
3.维护的数据结构打错
模板（difficult）
注意：w[x]其实就是dfs序，一些奇怪的性质，子树上的dfs序都是连续的
维护一颗子树？直接维护编号w[x]到w[x]+size[x]-1这段区间里就行
P3384 【模板】树链剖分
题目描述
如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和
输入输出格式
输入格式：
第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。
接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。
接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）
接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：
操作1： 1 x y z
操作2： 2 x y
操作3： 3 x z
操作4： 4 x
输出格式：
输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）
输入输出样例
说明
时空限制：1s，128M
数据规模：
其实随机数据暴力维护是能过的，但是你觉得这可能是随机数据吗？
样例说明：
树的结构如下：
各个操作如下：
故输出应依次为2、21(重要的事情说三遍：记得取模)
代码：
# include <bits/stdc++.h> # define Rint register int # define MAXN 100005 using namespace std; typedef long long ll; int n,m,r,p,val[MAXN],b[MAXN]; struct Tree{ ll c[MAXN]; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x,int y) { while (x<=n) { c[x]+=y; x+=lowbit(x); } } ll query(int x) { ll ret=0; while (x>0) { ret+=(ll)c[x]; x-=lowbit(x); } return ret; } }c1,c2; struct Edge{ int pre,to; }a[2*MAXN]; int tot=0,head[MAXN]; inline void adde(int u,int v) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; head[u]=tot; } inline int read() { int X=0,w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } int f[MAXN],size[MAXN],dep[MAXN],son[MAXN]; inline void dfs1(int u,int fa,int depth)//f[],dep[],size[],son[] { f[u]=fa; dep[u]=depth;size[u]=1; for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==fa) continue; dfs1(v,u,depth+1); size[u]+=size[v]; if (size[son[u]]<size[v]) son[u]=v; } } int w[MAXN],cntw=0,top[MAXN],end[MAXN]; inline void dfs2(int u,int tp)//w[],top[] { w[u]=++cntw;top[u]=tp; end[cntw]=u; if (son[u]!=0) dfs2(son[u],tp); for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==f[u]) continue; if (v!=son[u]) dfs2(v,v); } } inline void change(int u,int v,int d) { int f1=top[u],f2=top[v]; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); c1.update(w[f1],d); c1.update(w[u]+1,-d); c2.update(w[f1],d*(w[f1]-1)); c2.update(w[u]+1,-d*(w[u])); u=f[f1]; f1=top[u]; } if (dep[u]>dep[v]) swap(u,v); c1.update(w[u],d); c1.update(w[v]+1,-d); c2.update(w[u],d*(w[u]-1)); c2.update(w[v]+1,-d*(w[v])); } inline ll lca(int u,int v) //u,v都是老编号 { int f1=top[u],f2=top[v]; ll ret=0; int l,r; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); //求w[f1]~w[u]的区间和 l=w[f1],r=w[u]; ret=ret+r*c1.query(r)-c2.query(r)-((l-1)*c1.query(l-1)-c2.query(l-1)); u=f[f1]; f1=top[u]; } if (dep[u]>dep[v]) swap(v,u); //求w[u]~w[v]区间和 l=w[u],r=w[v]; ret=ret+r*c1.query(r)-c2.query(r)-((l-1)*c1.query(l-1)-c2.query(l-1)); return ret%p; } inline void print(ll x) { if(x<0){ putchar('-');x=-x;} if(x>9) print(x/10); putchar(x%10+'0'); } int main() { n=read();m=read();r=read();p=read(); for (int i=1;i<=n;i++) val[i]=read(); int u,v; for (Rint i=1;i<=n-1;i++) { u=read();v=read(); adde(u,v); adde(v,u); } dfs1(r,0,0); dfs2(r,0); for (Rint i=1;i<=n;i++) b[i]=val[end[i]]; for (Rint i=1;i<=n;i++) c1.update(i,b[i]-b[i-1]),c2.update(i,(b[i]-b[i-1])*(i-1)); int op,x,y,z; for (Rint i=1;i<=m;i++) { op=read();x=read(); if (op==1) y=read(),z=read(),change(x,y,z); else if (op==2) y=read(),print(lca(x,y)),putchar('\n'); else if (op==3) { y=read();c1.update(w[x],y);c1.update(w[x]+size[x]-1+1,-y); c2.update(w[x],(w[x]-1)*y); c2.update(w[x]+size[x]-1+1,-y*(w[x]+size[x]-1+1-1));//w[x]~w[x]+size(x)-1+1 +y } else if (op==4) { int l=w[x],r=w[x]+size[x]-1; ll ans=r*c1.query(r)-c2.query(r)-((l-1)*c1.query(l-1)-c2.query(l-1)); print(ans%p); putchar('\n'); } } return 0; }
P2590 [ZJOI2008]树的统计
题目描述
一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。
我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：
I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和
注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行为一个整数n，表示节点的个数。
接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。
接下来一行n个整数，第i个整数wi表示节点i的权值。
接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。
接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
输出格式：
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。
输入输出样例
说明
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。
# include <cstring> # include <iostream> # include <cstdio> # include <climits> # define Rint register int using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN=60010; int b[MAXN],n,val[MAXN]; inline int read() { int X=0,w=0; char c=0; while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar(); return w?-X:X; } struct TreeMax{ int f[3*MAXN],s[3*MAXN],opx,opl,opr,ans; inline void build(int x,int l,int r) { if (l==r) { f[x]=b[l]; return;} int m=(l+r)>>1; build(x<<1,l,m); build((x<<1)+1,m+1,r); f[x]=max(f[x<<1],f[(x<<1)+1]); } inline void _update(int x,int l,int r) { if (opl<=l&&opr>=r) f[x]=opx; if (l==r) return; int m=(l+r)>>1; if (opl<=m) _update(x<<1,l,m); if (opr>m) _update((x<<1)+1,m+1,r); f[x]=max(f[x<<1],f[(x<<1)+1]); } inline void _query(int x,int l,int r) { if (opl<=l&&opr>=r) { ans=max(ans,f[x]); return; } if (l==r) return; int m=(l+r)>>1; if (opl<=m) _query(x<<1,l,m); if (opr>m) _query((x<<1)+1,m+1,r); } inline int query(int l,int r) { ans=-INT_MAX; opl=l;opr=r; _query(1,1,n); return ans; } inline void update(int l,int r,int w) { opx=w;opl=l;opr=r; _update(1,1,n); } }fmax; struct TreeSum{ int opx,opl,opr; ll f[3*MAXN],ans; inline void build(int x,int l,int r) { if (l==r) { f[x]=(ll)b[l]; return;} int m=(l+r)>>1; build(x<<1,l,m); build((x<<1)+1,m+1,r); f[x]=f[x<<1]+f[(x<<1)+1]; } inline void _update(int x,int l,int r) { if (opl<=l&&opr>=r) f[x]=(ll) (r-l+1)*opx; if (l==r) return; int m=(l+r)>>1; if (opl<=m) _update(x<<1,l,m); if (opr>m) _update((x<<1)+1,m+1,r); f[x]=f[x<<1]+f[(x<<1)+1]; } inline void _query(int x,int l,int r) { if (opl<=l&&opr>=r) { ans=ans+(ll)f[x]; return; } int m=(l+r)>>1; if (opl<=m) _query(x<<1,l,m); if (opr>m) _query((x<<1)+1,m+1,r); } inline ll query(int l,int r) { ans=0ll; opl=l;opr=r; _query(1,1,n); return ans; } inline void update(int l,int r,int w) { opx=w;opl=l;opr=r; _update(1,1,n); } }fsum; struct rec{ int pre,to; }a[MAXN*2]; int tot=0,head[MAXN]; inline void adde(int u,int v) { a[++tot].pre=head[u]; a[tot].to=v; head[u]=tot; } int f[MAXN],size[MAXN],dep[MAXN],son[MAXN]; inline void dfs1(int u,int fa,int depth) { f[u]=fa;size[u]=1;dep[u]=depth; for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre) { int v=a[i].to; if (v==fa) continue; dfs1(v,u,depth+1); size[u]+=size[v]; if (size[son[u]]<size[v]) son[u]=v; } } int w[MAXN],top[MAXN],old[MAXN],cntw=0; inline void dfs2(int u,int tp) { w[u]=++cntw;top[u]=tp; old[cntw]=u; if (son[u]!=0) dfs2(son[u],tp); for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre){ int v=a[i].to; if (v==f[u]||v==son[u]) continue; dfs2(v,v); } } inline int lcamax(int u,int v) { int f1=top[u],f2=top[v],ret=-INT_MAX; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); int l=w[f1],r=w[u]; ret=max(ret,fmax.query(l,r)); u=f[f1]; f1=top[u]; } if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); int l=w[v],r=w[u]; ret=max(ret,fmax.query(l,r)); return ret; } inline ll lcasum(int u,int v) { int f1=top[u],f2=top[v]; ll ret=0; while (f1!=f2){ if (dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); int l=w[f1],r=w[u]; ret=ret+fsum.query(l,r); u=f[f1]; f1=top[u]; } if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v); int l=w[v],r=w[u]; ret=ret+fsum.query(l,r); return ret; } inline void writeint(int x) { if (x<0) { putchar('-'); x=-x;} if (x>9) writeint(x/10); putchar(x%10+'0'); } inline void writell (ll x) { if (x<0ll) {putchar('-');x=-x;} if (x>9ll) writell(x/10); putchar(x%10ll+'0'); } inline void change(int x,int y) { int l=w[x]; fmax.update(l,l,y); fsum.update(l,l,y); } char s[50]; int main() { n=read(); int u,v; for (Rint i=1;i<=n-1;i++) { u=read();v=read(); adde(u,v); adde(v,u); } dfs1(1,0,0); dfs2(1,0); for (Rint i=1;i<=n;i++) val[i]=read(); for (Rint i=1;i<=n;i++) b[i]=val[old[i]]; fmax.build(1,1,n); fsum.build(1,1,n); int m; m=read(); int x,y; for (Rint i=1;i<=m;i++){ scanf("%s",s); x=read(); y=read(); if (s[1]=='M') writeint(lcamax(x,y)),putchar('\n'); else if (s[1]=='S') writell(lcasum(x,y)),putchar('\n'); else if (s[1]=='H') change(x,y); } return 0; }
