HGOI 20191108 题解

Problem A 新婚快乐

一条路，被$n$个红绿灯划分成$n+1$段，从前到后一次给出每一段的长度$l_i$，每走$1$的长度需要$1$分钟。

一开始所有红绿灯都是绿色的，$g$分钟后所有红绿灯变成红色，再过$r$分钟，所有红绿灯又重新变为绿色。

以$r+g$分钟为一个周期，如此反复。

有$Q$组询问，如果第$t_i$分钟从第一条线段的首端出发走到最后一条线段末端需要的时刻。

对于$100\%$的数据满足$1 \leq n\leq 2\times 10^5$ , 其他所有数字都在$10^9$以下。

Solution ： 

　　设$f[i]$表示第$i$个红绿灯恰好绿灯开始，走到最后的时间长度。

　　转移的话就是从最近的一个$j$（即编号最小），且满足$|s_j - s_i| \% (r+g) \geq g$。

　　这个时候，我们需要解这样一个带有取模运算的不等式，$(a+b)\% c \geq d$

　　我们打一个表发现，若$a=0$，答案显然是$[d,c-1]$，如果对于任意$1 \leq a < c$只要把答案区间往左平移$a$即可。

　　这个时候，可能出现段首一部分被覆盖，段尾一部分被覆盖。

　　直接用权值线段树维护位置信息即可。

　　最后计算答案的时候，也需要解这样一个不等式，类似的，计算出当前出发第一个遇到红灯的位置即可。

　　使用动态开点的权值线段树，可以实现时间复杂度$O(n log_2 S)$，其中$S$是值域。

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long 
# define root rt
# define inf (1e18)
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,g,r;
int s[N],f[N];
struct Seg {
    int ls,rs,val;
    Seg() { val = inf; ls=rs=0; }
};
struct QwQ {
    int root,tot;
    QwQ () { root=0;tot=0;}
    Seg tr[N*32];
    void insert(int &x,int l,int r,int pos,int val) {
        if (!x) x=++tot;
        if (l==r) { tr[x].val=val; return;}
        int  mid=(l+r)>>1;
        if (pos<=mid) insert(tr[x].ls,l,mid,pos,val);
        else insert(tr[x].rs,mid+1,r,pos,val);
        tr[x].val=min(tr[tr[x].ls].val,tr[tr[x].rs].val);
    }
    int query(int x,int l,int r,int opl,int opr) {
        if (!x) return inf;
        if (opl<=l && r<=opr) return tr[x].val;
        int ret=inf,mid=(l+r)>>1;
        if (opl<=mid) ret=min(ret,query(tr[x].ls,l,mid,opl,opr));
        if (opr>mid) ret=min(ret,query(tr[x].rs,mid+1,r,opl,opr));
        return ret;
    }
    int query(int x) {
        x=(x%(g+r)+(g+r))%(g+r);
        if (g-x>=0) return query(root,0,g+r-1,g-x,g+r-1-x);
        else return min(query(root,0,g+r-1,0,g+r-1-x),query(root,0,g+r-1,(g-x+g+r)%(g+r),g+r-1));
    }
}tr1,tr2;
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&g,&r);
    for (int i=1;i<=n+1;i++) {
        int t; scanf("%lld",&t); s[i]=s[i-1]+t;
    }
    f[n]=s[n+1]-s[n]; tr1.insert(tr1.root,0,g+r-1,s[n]%(g+r),n);
    for (int i=n-1;i>=1;i--) {
        int j = tr1.query(g+r-s[i]%(g+r));
        if (j == inf) {
            f[i] = s[n+1]-s[i];
        } else {
            f[i] = f[j] + (s[j]-s[i]) + g+r-(s[j]-s[i])%(g+r);
        }
        tr1.insert(tr1.root,0,g+r-1,s[i]%(g+r),i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) tr2.insert(tr2.root,0,g+r-1,s[i]%(g+r),i);
    int q; scanf("%lld",&q);
    while (q--) {
        int t; scanf("%lld",&t);
        int p = tr2.query(t%(g+r));
        if (p == inf) { printf("%lld\n",t+s[n+1]); continue;}
        else {
            printf("%lld\n",s[p]+t+g+r-(s[p]+t)%(g+r)+f[p]);
        }
    }
    return 0;
}

Problem B 能量传输　　

　　有$n$个人排成一圈，每恰好相隔$k$个人可以花费$1$的代价传输$1$的能量。

　　给出每个人的初始能量，为了使得每个人最终的能量都相等，输出最小代价。

　　对于$100\%$的数据满足$1 \leq k\leq n \leq 5 \times 10^5 $

Solution : 

　　　首先，本题每相邻$k$个人可进行交换，于是我们就可以做若干次环形均分纸牌即可。

　　　环形均分纸牌问题，需要使用两个模型，第一个是线性的均分纸牌，另外一个是中位数。

　　　设$s[i]$为数组的前缀和，这些数最终都变成$r = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}}{n}$

　　    线性状态下 ， 第$1$个人显然需要和第$2$进行交换，使得自己纸牌数成为$r$.

　　　依次类推，在最优状态下，到第$i$个人和第$i+1$个人交换的时候，$|i \times r - s[i]|$是需要交换的总排数。

　　   所有总交换次数就是$\sum\limits_{i=1}^{n} |i \times r - s[i]|$

　　　为了计算方便，一开始，我们让所有数减去一个平均数$r$，并最终让所有人手中有0张牌，答案显然不变，就是$\sum |s_i|$了。

　　  为了让线性变成环形，我们考虑一个较为朴素的做法，将$n$种断环方法，然后做一次均分纸牌即可。

　　　　继续推导，当前断环所成的东西是这样的。　　

// 设S[i]数组为减去avg的前缀和数组，显然有S[M]=0
A[k+1] S[k+1]-S[k]
A[k+2] S[k+2]-S[k+1]
....
A[M] S[M] - S[k]
A[1] S[1]+S[M]-S[k]
...
A[k] S[k]+S[M]-S[k]

　　这个时候所需要的步数就是$\sum\limits_{i=1}^{n}|s[i] - s[k]|$，这个时候取$s[k]$为中位数的时候最小。

　　时间复杂度为$O(n log_2 n)$

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int a[N],b[N],g[N];
bool vis[N];
int cnt,n,k,sum;
int solve(int u) {
    int cnt=0;
    for (int i=u;;i+=k) {
        if (i>n) i-=n;
        if (vis[i]) break;
        vis[i]=1; b[++cnt]=a[i]-sum;
    }
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        g[i]=g[i-1]+b[i];
    sort(g+1,g+1+cnt);
    int mid = g[(cnt+1)/2]; int ans=0;
    for (int i=1;i<=cnt;i++) ans+=abs(g[i]-mid);
    return ans; 
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k); k++;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lld",&a[i]); sum+=a[i];
    }
    sum/=n; int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!vis[i]) {
        ans+=solve(i);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
 }

Problem C 矿物运输　

　　给出一棵有$n$个点的树，每一个点上面有一个权值$val_i$

　　先手和后手轮流操作，使得一个节点上$1$的权值移到它的父亲节点上、

　　无法移动的人判负，先手胜利输出"win"否则输出"lose"

　　对于$100\%$的数据满足$1 \leq n \leq 2 \times 10^5$

　Solution : 

　这是是多个有向图游戏的和，而多个有向图(G)游戏的和SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即SG(G) = SG(G1) xor SG(G2) xor SG(Gm)。

　所以我们不妨将深度为奇数的所有点矿石数求异或，结果大于零（根据NIM游戏规则）则输出win（先手必胜），否则输出lose。

　时间复杂度为$O(n)$　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=200005;

struct Edge{
    int next,to;
}edge[maxn];

int n,nedge,head[maxn],ans;
int a[maxn];

void addedge(int a,int b){
    edge[nedge].next=head[a];
    edge[nedge].to=b;
    head[a]=nedge++; 
}

void dfs(int u,int d){
    if (d%2==1) ans^=a[u];
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        dfs(v,d+1);
    }
}

int main(){

    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--){
        scanf("%d",&n); 
        nedge=0,ans=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for (int i=1;i<n;i++){
            int k;
            scanf("%d",&k);
            addedge(k,i);
        }
        for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        dfs(0,0);
        if (!ans) puts("lose");
        else puts("win");
    }
    return 0;
}