『HGOI 20190917』Cruise 题解 (计算几何+DP)

题目概述

在平面直角坐标系的第$1$象限和第$4$象限有$n$个点，其中第$i$个点的坐标为$(x_i,y_i)$,有一个权值$p_i$

从原点$O(0,0)$出发，不重复的经过一些点，最终走到原点,围成一个多边形。我们定义开心程度为$f$。

设经过节点总共走的路径长度是$s$，最终路径围成的多边形中所有点的权值和为$w$，则$f = \frac{w}{s}$。

试最大化开心程度$f$。保留$3$位小数后输出$f_{min}$。

对于$100\%$的数据满足$n\leq 2\times 10^3 , 0 \leq x_i \leq 10^4 , |y_i| \leq 10^4 , 1\leq  p_i \leq 10^4$

Solution - 前置知识

本题考场由@ljc20020730胡出正解。涉及部分计算几何知识。

首先，我们需要知道向量叉积的计算方法和几何含义。

定义向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，则记向量叉积为$\vec{a} \times \vec{b}$

设向量坐标 $\vec{a} = (x_a,y_a) , \vec{b} = (x_b,y_b)$

其中，叉积的几何意义是一个垂直于$| \vec{a} $与$\vec{b}$构成平面的向量$c$，其模长$| \vec{a} \times \vec{b} | = |x_a y_b - x_by_a| $

其方向可以用右手螺旋定则确定（即右手四指从$\vec{a}$指向$\vec{b}$，大拇指所在方向就是叉积后向量方向）

于是，设点$A,B,C$，则可以使用向量叉积方便的判断点$A$在直线$BC$的左侧还是右侧。

若$|\vec{BA} \times \vec{BC}| > 0$则在直线$BC$的左侧；

若$|\vec{BA} \times \vec{BC}| = 0$在直线$BC$上；

若$|\vec{BA} \times \vec{BC}| < 0$则在直线$BC$的右侧；

这样，我们就可以判断$P$是否在由$A,B,C$构成的三角形内了。

$P,A$必须在直线$BC$的同侧，$P,B$必须在直线$AC$的同侧，$P,C$必须在直线$AB$的同侧。

　　其次，我们还需要知道利用向量叉积进行极角排序的相关知识点。

　　极角：设坐标轴$Ox$并规定逆时针为正方向，对任何点其到原点构成直线与坐标轴的夹角叫极角。

　　显然，理论上，如果计算机非常准确，则极角排序可以使用反三角函数解决。

　　对于两个点$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$如果$(x_2,y_2)$在原点和$(x_1,y_1)$构成直线的右侧，则需要交换这两个点的顺序。

　　这可以利用之前点在直线方向判定的叉积来实现。利用快速排序，可以做到$O(n \log_2 n)$

Solution 关于本题

　首先，答案具有单调性，我们可以二分快乐值$f$，现在问题是判定是否能找出一条方案，使得其快乐值大于二分的答案。

　记$\frac{w}{s} \geq f$由于$s > 0$则$w - fs \geq 0$，对于每次二分的定值$f$，最大化$w - fs$的值即可。

　我们首先会想到由于$w$是围成图形内包含点的权值和，我们首先按照$O(0,0)$进行极角排序。按照此时的顺序进行$DP$

　状态为$f[i]$表示最后一个经过点$i$的路径答案，显然$f[i] = max \{ f[j] + cost(i,j) \}$其中$cost(i,j)$表示极角排序后$i$点(不包含)到$j$点(包含)的元素的权值和。

　如果暴力计算$cost(i,j)$，时间复杂度是$O(n^3 log_2 n)$。我们必须离线处理$cost(i,j)$的值。

　首先，对极角排序后的$n$个点编成连续的编号$1- n$，设当前点是$i$，则将$i+1 - n$号点的权值，单点插入到树状数组对应编号位中，便于区间查询。

　这些插入的点对第$i$个点为基准进行极角排序(角相同则按照半径大优先)，依次考虑。设当前考虑到点$j$。

　为了计算$cost(i,j)$，我们需要知道，树状数组区间中i的编号到j的编号之间的答案和。

　可以证明，经过这两次极角排序后，i的编号到j的编号之间的点$k$，在以$i$和$j$和$O(0,0)$构成的三角形中了。

　然后，由于该点在后续的点将不再会被用到，故在树状数组中单点删除即可。

　于是，我们可以在$O(n^2 log_2 n)$的复杂度为维护$cost(i,j)$了。

　对于$DP$的转移也就变成$O(1)$的了。

　本题最终时间复杂度是$O(n^2 \log_2 n)$

# pragma GCC optimize(3)
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
int n,g[N][N],c[N];
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
# define lowbit(x) (x&(-x))
void update(int x,int d) { for (;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=d;}
int query(int x) { int ret=0; for (;x;x-=lowbit(x)) ret+=c[x]; return ret;}
int query(int l,int r) {return query(r)-query(l-1);}
struct rec{ int x,y,p; }a[N],b[N],tmp[N];
int cross(rec a,rec b) { return a.y*b.x-a.x*b.y;}
int direct (rec a,rec b,rec c) {
    rec ba={a.x-b.x,a.y-b.y,0};
    rec bc={c.x-b.x,c.y-b.y,0};
    int ret=cross(ba,bc);
    if (ret==0) return 0;
    else if (ret<0) return -1;
    else if (ret>0) return 1;
}
bool triangle(rec p,rec a,rec b,rec c) {
    if (direct(p,b,c)*direct(a,b,c)<0) return false;
    if (direct(p,a,c)*direct(b,a,c)<0) return false;
    if (direct(p,a,b)*direct(c,a,b)<0) return false;
    return true;
}
bool cmp1(rec a,rec b) {
    return (direct(b,{0,0,0},a)>0);
}
bool operator == (rec a,rec b) {
    return a.x==b.x && a.y==b.y && a.p==b.p;
}
int cx,cy;
bool cmp2(rec a,rec b) {
    int ret=direct(b,(rec){cx,cy,0},a);
    if (ret) return ret>0;
    return (a.x-cx)*(a.x-cx)+(a.y-cy)*(a.y-cy) > (b.x-cx)*(b.x-cx)+(b.y-cy)*(b.y-cy);
}
double dist(int i,int j) {
    return sqrt((a[j].y-a[i].y)*(a[j].y-a[i].y) + (a[j].x-a[i].x)*(a[j].x-a[i].x));
}
double f[N];
bool check(double mid) {
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        f[i]=a[i].p-mid*dist(0,i);
    for (int i=1;i<n;i++) 
     for (int j=i+1;j<=n;j++) 
        f[j]=max(f[j],f[i]+g[i][j]-mid*dist(i,j));
    double ans=-1e9;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]-dist(i,0)*mid);
    return ans>0;
}
int main() {
    n=read(); a[0].x=a[0].y=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].p=read();
    sort(a+1,a+1+n,cmp1);
    memcpy(b,a,sizeof(a)); 
    for (int i=1;i<=n;i++) b[i].p=i;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        memset(c,0,sizeof(c));
        int cnt=0;
        for (int j=i+1;j<=n;j++) {
            tmp[++cnt]=b[j];
            update(j,a[j].p); 
        }
        cx=a[i].x; cy=a[i].y;
        sort(tmp+1,tmp+1+cnt,cmp2);
        for (int j=1;j<=cnt;j++) {
            g[i][tmp[j].p]=query(i,tmp[j].p);
            update(tmp[j].p,-a[tmp[j].p].p);
        }
    }
    double l=0,r=2e7,ans;
    while (r-l>1e-5) {
        double mid=(l+r)/2.0;
        if (check(mid)) ans=mid,l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}