第一章, 随机事件

引言:

1. 确定性(必然):, 一定发生的事情, 或者一定不发生的事情
2. 随机性(偶然): 可能发生的事情, 可能不发生的事情.
3. 统计规律: 根据对大量事情发生的统计,来找出其中的规律.

1.1: 随机事件:

• 试验: 观察, 测量, 实验
• 随机试验:
  • 在相同的情况下可重复
  • 结果不止一个
  • 无法预测结果, 用E表示
• 事件: 做试验的每种结果叫事件,
• 随机事件: 可能发生, 可能不发生, 用A,B,C表示
• 基本事件: 相对于实验目的, 不能再分(不必再分)
• 复合事件: 由基本事件复合而成

1.2必然事件: 事情一定发生的事件, 用Ω表示

1.3不可能事件: 不可能发生的事件, 用Φ表示

样本空间: 所有基本事件的集合, 用Ω表示

样本点: 样本空间的元素, 用ω表示

事件的集合表示: A= {2,4,6}

不可能事件: 空集, 用Φ表示

事件的关系: 

1. 包含: A包含于B, 事件A发生必然导致事件B发生就叫包含
   1. Φ 包含于A包含于Ω
2. 相等: A包含于B, B包含于A, 则说明 A=B
3. 并(和): A与B中至少有一个发生, 记作: A+B, or AUB 
4. 交(积): A和B公共的部分, 记作: A∩B, AB
5. 差: 去掉A和B的公共部分, A-AB

无线可列个: 按某种规律拍成一个序列

1. 自然数, 0,1,2,3,4...
2. 整数: 0.1,-1, 2,-2,3,-3...
3. 有理数: p/q, 　　　0.565656...  = 56/99
   1. 0.565656..=x                 
   2. 56.565656...=100x
   3. 2-1得: 56=99x, x=56/99

互不相容事件: A,B不同时发生,叫做互不相容事件　

• AB = Φ

对立事件: 事件A,B互不相容, 且AUB=Ω,  AB = Φ且A+B = Ω

1. Ã是A的逆, 
2. A-B=A-AB
3. 两事件对立, 则一定是互不相容的
4. 互不相容适用于多个事件, 对立只适用于2个事件
5. 互不相容, 不能同时发生, 可以都不发生, 
6. 对立: 是又切仅有一个发生

完备事件组:

• A1,A2,A3,..,An两两互不相容, 且U_i=1 ⁿA_i = Ω
• 运算律:
  • 交换律: AUB = BUA, A∩B=B∩A
  • 结合律: (AUB)UC=AU(BUC), (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
  • 分配律: (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C), (A∩B)UC=(AUC)∩(B∩C)
  • 对偶: AUB的逆 = A的逆 ∩ B的逆,    A∩B的逆=A的逆UB的逆

例1:A,B,C是试验E的随机事件:

1. A发生: A(BC是否发生, 不用care)
2. 只有A发生: AB^-C^- 
3. A,B,C恰有一个发生: AB^-C^-+A^-BC^-+A^-B^-C
4. A,B,C同时发生: ABC
5. A,B,C至少有一个发生: A+B+C
6. A,B,C至多有一个发生: A^-B^-C^- +AB^-C-+A^-BC-+A^-B^-C
7. 恰有两个: ABC^-+AB^-C+A^-BC
8. 至少两个: ABC^-+AB^-C+A^-BC+ABC(AB+BC+AC)

例2: 抽查产品不放回抽样三次, A1,A2,A3第1,2,3次取合格产品

1. 三次都合格: A1A2A3
2. 至少一次合格: A1+A2+A3
3. 恰有两次合格: A1A2A3^-+A1A2^-A3+A1^-A2A3

例3: 射击打三枪, Ai, i=1,2,3..., 第i次击中

1. A1+A2: 前两次至少集中一次
2. A2-: 第二次未击中
3. A1+A2+A3: 三次至少集中一次
4. A1A2A3: 三次全中
5. A2-A3=A2A3^-:第二次击中, 第三次未中
6. (A1+A3)^-=A1^-∩A2^-: 一,三次未中
7. A1^-+A3^-:第一,三次至少一次未中

事件的概率:

• 概率的初等描述
• 概率: 可能性的大小: P(A)
• 性质: 
  • P(Ω)=1
  • P(Φ)=0
  • 0≤P(A)≤1

古典概型:

• 条件:
  • 有限个样本点
  • 等可能性(每个样本点出现的可能性一样)
• P(A) = A的有利样本点/Ω中样本点总数=A中包含的基本事件数/基本时间总数
• 排列:
  • 不重复排列(无放回抽样): 
    • 从n个不同的元素中, 取出不同m个, 排列, P_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m) = n!/(n-m)!, P₁₀⁵=10X9X8X7X6=10!/5!
• 全排列: Pnn = n(n-1)(n-2)...(3x2x1) = n!
  • P₂² = 2!, P₁¹=1!, 0!=1
  • 1!=1X0!, 0!=1, P₀⁰=0!=1, 0!=1
  • 5⁰=5^1-1=5¹/5¹=1
• 重复排列: 从n个元素中取出m个排列(有放回抽样)
• 组合: 从n个不同元素中取出不同元素
  • C_n^m = P_n^m/m!=n(n-1)...(n-m+1)/m(m-1)...x2x1=n!/m!(n-m)!
  • C_n^m = C_n^(n-m)

 古典性质:

1. 非负性(0≤P(A)≤1)
2. 规范性: P(Ω)=1, P(Φ)=0
3. 有限可加: A1,A2,...An互不相容, P(A1+A2+...+An)=P(A1) + ...P(An)
4. 特点:
   1. 有限个结果
   2. 等可能性

几何概型: 线段, 平面 立体

• P(A) = μ(G)/μ(Ω)
• 特性: 完全可加性

频率与概率:n次试验,时间A发生了m次, m/n就叫做频率

• 非负性: 0≤ωn(A)≤A
• 规范性: ωn(Ω)=1, ωn(Φ)=0
可加性: A1,A2...Am不相容
• ωn(A1,12,...Am)=ωn(A1) + ...+ωn(Am)
• 频率接近的一个稳定的值, 就叫做统计概率

公里化:

• 公理
  1. 非负: 0≤P(A)≤1
  2. 规范: P(Ω)=1
  3. 完全可加: A1,A2...An互不相容, P(A1,A2,...An) = P(A1) + P(A2) + ...P(An)
• 性质(加法): P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)
  • A,B互不相容, P(A+B) = P(A)+ P(B)
  • 补充: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率: 假设Ω是样本空间A,B两个事件, P(B)>0, 在B已经发生的条件下A发生的概率, A对B的条件概率P(A|B)

• P(A): 无条件概率→样本空间Ω
• P(A|B): 条件概率→B=Ω_B
• 条件概率的计算方法:
  • P(A|B)=n_AB/n_B
  • P(A|B)=(n_AB/n)/(n_B/n)
• 乘法公式:
  • 两个事件: P(AB)=P(B)P(A|B), P(AB)=P(A)P(B|A)
  • 三个事件: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
  • 多个事件: P(A₁,A₂,...A_n)=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(A_n|A₁,A₂...A_n-1) 

全概率公式:

• 定理1.2: A1,A2,...An是E的完备事件组, P(Ai)>0, P(B)=Σ_i=1ⁿP(Ai)P(B|Ai)

贝叶斯公式:

• P(A_k|B) = [P(A_k)P(B|A_k)]/[Σ_i=1ⁿP(A_i)P(B|A_i)]=P(A_kB)/P(B)
  • P(Ai): 先验
  • P(Ai|B): 后验

事件的独立性: 事件A的概率不受B发生与否的影响

• 事件A对事件B对立, 事件B对于事件A也独立
• P(A|B) = P(A)
  • 定理1.4: 当P(A)>0, P(B)>0, 且A,B相互独立→P(AB)=P(A)P(B)(经常常用)
• 定理1.5:
  • A,B独立, A与B^- A^-与B, A^-与B^-独立
  • P(A)=0或P(A)=1, A与任意事件独立
• A,B,C相互独立: 

1. P(AB) = P(A)P(B)
2. P(BC) = P(B)P(C)
3. P(AC) = P(A)P(C)
4. P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

• P(A|B)+P(A^-|B^-)=1
• P(A|B^-)+P(A^-|B^-)=1

伯努利模型: 

• 独立实验序列: E1,E2,E3...,En 彼此相互独立(不同实验做n次,每次之间相互独立)
• n重独立实验: E1,E2,E3...En  独立(一个实验做n次, 每次之间是相互独立的)
• 伯努利实验: 实验结果只有两种可能, (类似二分类的问题)
• n重伯努利: n次实验, 每次都是独立的, 结果只有两种可能那个性
• 定理: 事件A发生的概率是P, (0<p<1), Ä=1-p, n重伯努利中A发生k次:
  • P_n(k)=C_n^kP^k(1-p)^n-k      (二项概率公式)