第四章-定积分

1,定积分定义

1. 设函数f(x)在定义[a,b]上, 若对[a,b]的任一中分法, a=x₀<x₁<x₂<...<x_n = b, 令Δx_i = x_i - x_i-1, 任取ξ€[x_i,x_i-1], 只要λ=max{Δx_i} ->0时, ∑ⁿ_i=1f(ξ_i)Δxi总趋于确定的极限I,则称次极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作∫^b_af(x)dx
   1. 即 ∫^b_af(x)dx = limλ->0∑ⁿ_i=1f(ξ_i)Δx_i
2. 定积分可积的充分条件:
   1. 定理1: 函数f(x)在[a,b]上连续==>f(x)在[a,b]可积
   2. 函数f(x)在[a,b]上有界, 且只有有限个间断点==>f(x)在[a,b]上可积

不定积分与定积分的区别:

1.  不定积分取的是所有函数所有的原函数的表达式
2. 定积分取的是一个数值

2,定积分的性质

1. ∫_a^bf(x)dx = ∫_b^af(x)dx ==> ∫_a^af(x)dx = 0
2. ∫_a^bdx = b - a
3. ∫_a^bkf(x)dx = k∫f(x)dx  (k为常数)
4. ∫_a^b[f(x) ± g(x)]dx = ∫_a^bf(x) ± ∫_a^bg(x)dx
5. ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx
6. 若在[a,b]上f(x)≥0,则∫_a^bf(x)dx ≥ 0
   
   1. 推论: 若在[a,b]上f(x) ≤ g(x),则, ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx  (定积分对于不等号具有传递关系, 积分区间相同)
   2. 推论2:| ∫_a^bf(x)dx | ≤ ∫_a^b| f(x) |dx (a<b)
7. 设M = maxf(x) [a,b], m = minf(x) [a,b] ==> m(b-a) ≤ ∫_a^bf(x) ≤ M(b -a)   [积分估值定理]
8. 积分中值定理
   1. 若f(x)€C[a,b], 则至少存在一点ξ€[a,b], 使∫abf(x)dx = f(ξ)(b-a)

3,积分上限的函数及其导数

1. 定理1: 若f(x)€C[a,b],则变上限函数Φ(x) = ∫_a^xf(t)dt, 是f(x)在[a,b]上的一个原函数
2. 说明
   1. 定理1证明了连续函数的原函数是存在的, 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路
   2. 变限积分求导:
      1. d/dx∫_x^bf(t)dt = -f(x), d/dx∫_a^φ(x)f(t)dt = f[φ(x)]φ'(x)
      2. d/dx∫_Ψ(x)^φ(x)f(t)dt = d/dx[∫_Ψ(x)^af(t)dt + ∫_a^φ(x)f(t)dt] = f[φ(x)]φ'(x) - f[Ψ(x)Ψ'(x)]

4,牛顿-莱布尼茨公式

1. 定理2: 设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数, 则∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)     (牛顿-莱布尼兹公式)   记作: [F(x)]_a^b  <==>F(x)|_a^b

5,定积分的换元法

1. 定理1: 设函数f(x)€C[a,b], 单值函数x=φ(t)满足: 
   1. φ(t)€C¹[α,β], (一阶导数)φ(α)=a, φ(β)=b;
   2. 在[α,β]上a≤φ(t)≤b
2. 则∫_a^bf(x)dx = ∫_α^βf[φ(t)φ'(t)]dt
3. 说明: 
   1. 当β<α, 即区间换为[β, α]时, 定理1扔成立
   2. 必需注意换元必换线, 原函数中的变量不必代回
   3. 换元公式也可以反过来使用, 即: ∫_α^βf[ψ(t)ψ'(t)]dt  (令x=ψ(t))
4. 设f(x)€C[-a.a],
   1. 若f(-x) = f(x),则∫_-a^af(x)dx = 2∫₀^af(x)dx
   2. 若f(-x) = -f(x), 则∫_-a^af(x)dx = 0

6,定积分的分布积分法

1. 定理2: 设μ(x), ν(x)€C1[a,b], 则∫_a^bμ(x)ν'(x)dx = μ(x)ν(x)|_a^b - ∫_a^bμ'(x)ν(x)dx

定积分计算旋转体的体积

1. 极坐标情形: 设φ(θ)€C[α, β], φ(θ)≥0, 求曲线r = φ(θ)及射线θ = α, θ=β围成的曲边扇形的面积
   1. x = rcosθ
   2. y = rsinθ
   3. x² + y² = r²
2. 扇形面积的计算
   1. A = 1/2*r2*θ(圆心角)
3. 旋转体的体积
   1. y = f(x), a≤x≤b, x轴围成的图形绕x轴旋转而得到的旋转体的体积为 V = ∫_a^bπf²(x)dx
   2. x = φ(y),c≤y≤d, y轴所围成的图形绕y轴旋转而得到的旋转体的体积围: V = ∫_c^dπφ²(y)dy

定积分与概念有关的问题的解析

1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值
   1. m(b-a)≤∫_a^bf(x)dx≤M(b-a)
   2. f(x)≤g(x) = ∫_a^bf(x)dx≤∫_a^bg(x)dx(积分的保序性)
3. 与变限积分有关的问题
   1. 对于可变限积分,通常使等式两端求导

不定积分的性质

1. d/dx[∫f(x)dx] = f(x) 或 的[∫f(x)dx] = f(x)dx
2. ∫F'(x)dx = F(x) + C 或 ∫dF(x) = F(x) + C
3. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
4. ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
5. (∫_ν(x)^μ(x)f(t)dt)' = (∫_ν(x)^af(t)dt + ∫_a^μ(x)f(t)dt)' = -f[ν(x)]ν'(x) + f[μ(x)]μ'(x)
6. x = φ(t), y = ψ(t), dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = ψ'(t)/φ'(t)