第二章-导数

  1. 微分学
    1. 导数: 描述函数变化快慢
    2. 微分: 描述函数变化程度
  2. 导数的概念
    1. 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 若lim(x->x0)f(x) - f(x0) / x-x0 = lim(Δx -> 0)Δy/Δx存在, 则称函数f(x)在点x0处可导, 并称次极限为y=f(x)在点x0的导数, 记作: y'|x=x0; f'(x0); dy/dx|x=x0;df(x)/dx|x=x0
    2. y'| x=x0=f'(x0) = lim(Δx->0)Δy/Δx= lim(Δx->0)f(x0+Δx) - f(x0) / Δx = lim(k->0)f(x0 + h) - f(x0) /h
    3. 在导数的定义中, 虽然x可以取区间I内的任何数值, 但在极限的过程中, x是常量, Δx或h是变量, 函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0除的函数值,即f'(x0) = f'(x)|x=x0
    4. (C)' = 0
    5. axlim(h->0)(ah - 1)/h = axlna
    6. (ex )'= ex
    7. 一般幂函数 y = xμ(μ为常数) (xμ)' = μxμ-1
    8. (sinx)' = cosx
    9. (cosx)' = -sinx
    10. (lnx)' = 1/x
    11. (tanx)' = sec2x
    12. (cscx)' = -cscxcotx
    13. (cotx)' = -csc2x
    14. (secx)' = secxtanx
    15. (xu)' = (eulnx)' x (ulnx)' = (xu ) x (u/x) = uxu-1
    16. (xx)' = (exlnx)' = (exlnx) x (xlnx)' = xx(lnx+1)
    17. (shx)' = (ex - e-x)/2 = (ex + e-x)/ 2 = chx 
    18. (arctanx)' = 1/(1+x2)
    19. (arcsinx)' = 1/(1-x2)1/2
    20. (arccosx)' = -1/(1-x2)1/2
    21. (arccotx)' = -x/(1+x2)
    22. secx = 1/cosx
    23. cscx = -1/sinx
    24. sin(x)(n) = sin(x+n/2π)
    25. cos(x)(n) = cos(x+n/2π)
  3. 导数的几何意义
    1. 曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线斜率为: tanα = f'(x0)
    2. 若f'(x0) > 0,曲线过(x0, y0)上升;
    3. 若f'(x0) < 0,曲线过(x0,y0)下降;
    4. 若f'(x0) = 0,切线与x轴平行, x0称为驻点;
    5. 若f'(x0) = ∞, 切线与x轴垂直.
    6. f'(x) ≠ ∞时, 曲线在点(x0, y0)处的:
      1. 切线方程: y - y0 = f'(x0)(x-x0)
      2. 法线方程: y - y0 = - 1/f'(x0)(x-x0)
  4. 函数的可导性与连续性的关系
    1. 定理1: f(x)在点x处可导 ==> f(x)在点x处连续
  5. 单侧导数
    1. 定义2: 设函数y=f(x)在点x0的某个右(左)领域内有定义, 则说明该函数在点x0处的右(左)导数记作f'+(x0)*f'_(x0)
    2. 定理2: 函数y=f(x)在点x0可导的充分必要条件是f'+(x0)与f'_(x)存在, 且f'+(x0) = f'_(x0)
    3. 定理3: 函数f(x)在点x0除右(左)导数存在==> f(x)在点x0必右(左)连续, 若函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 且f'+(a)与f'_(b)都存在, 则称f(x)在闭区间[a,b]上可导
  6. 四则运算求导法则
    1. 定理1: 函数u= u(x)及v = v(x)的和,差,积,商(除分母为0的点外)都在点x可导, 且
      1. [u(x) ± (x)]' = u(x)' ± v(x)'
      2. [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
      3. [u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v2(x) (v(x) ≠ 0)
    2. 推论:
      1. (Cu)' = Cu' (C为常数)
      2. (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
      3. (logax)' = [inx / ina] = 1/xlna
      4. (C/v)' = -Cv' / v2 (C为常数)
      5. (u + v -w)' = u' + v' - w'
    3. 定理2: u = g(x)在点x可导, y=f(u)在点u=g(x)可导 ==> 复合函数 y = f[g(x)]在点x可导, 且dy/dx = f'(u)g'(x)
    4. 推论: y = f(u), u=Φ(x), v=Ψ(x)
      1. dy/dx = (dy/du) x (du/dv) x (dv/dx) = f'(u) x Φ'(v) x Ψ'(x)
  7. 高阶导数
    1. 若函数y=f(x)的导数为y' = f'(x)可导,则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数,记作y''或d2y/d2x, 即y'' = (y')'或d2y/d2x=d/dx(dy/dx)
    2. 类似的, 二阶导数的导数称为三阶导数, 以此类推, n-1阶导数称为n阶导数, 分别记作: y''', y(4), ..., y(n)
  8. 高阶导数的运算法则
    1. 设函数u = u(x)及v=v(x)都有n阶导数, 则
      1. (u±v)(n) = u(n) ± v(n)
      2. (Cu)(n) = Cu(n) (C为常数)
      3. (uv)(n) = u(n)v + nu(n-1)v' + n(n-1)/2! u(n-2)v'' + ...+ [n(n-1)...(n-k+1)] / k! u(n-k)v(k) +...+ uv(n)    ===> 莱布尼兹公式
  9. 隐函数导数的概念
    1. 若方程F(x,y) = 0, 可确定y是x的函数, 则称次函数为隐函数, 由y=f(x)表示的函数,称为显函数
    2. 说明: 
      1. 对幂指函数 y=uv可用对数求导法求导 
  10. 微分中值定理与导数的应用
    1. 罗尔中值定理
      1. y=f(x)满足:
        1. 在区间[a,b]上连续
        2. 在区间(a,b)内可导
        3. f(a) = f(b)
      2. 在(a,b)内至少存在一点ξ,使f'(ξ) = 0
    2. 定理的条件使充分的, 可推广为:
      1. y = f(x)在(a,b)内可导, 且lim(x->a+)f(x) = lim(x->b-)f(x)在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得f'(ξ) = 0
    3. 证明提示:
      1. 设F(x) = 
        1. f(a+), x = a
        2. f(x), a<x<b
        3. f(b-),x=b
      2. 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理
    4. 拉格朗日中值定理
      1. y = f(x)满足:
        1. 在区间[a,b]上连续
        2. 在区间(a,b)内可导
      2. ==>至少存在一点ξ€(a,b),使f'(ξ)=[f(b) - f(a)] / (b-a)
  11. 洛必达法则
    1. 0/0型未定式
      1. 定理1>
        1. lim(x->a)f(x) = limF(x)=0
        2. f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)≠0
        3. lim(x->0)f'(x)/F'(x)存在(或为∞)
        4. ==> lim(x-a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f'(x)/F'(x)     (洛必达法则)
      2. 推论1:
        1. 定理1中x->a换为, x->a+, x->a-, x->∞, x->+∞, x->-∞, 定理1仍然成立
      3. 推论2:, 若limf'(x)/F(x)扔属于0/0型, 且f'(x),F'(x)满足定理1条件, 则
        1. limf(x)/F(x) = limf'(x)/F'(x) = limf''(x)/F''(x)
    2. ∞/∞未定式
      1. 定理2:
        1. lim(x->a)|f(x)|=lim(x->a)|F(x)|=∞
        2. f(x)与F(x)在U(a)内可导, 且F'(x)≠0
        3. lim(x->a)f'(x)/F'(x)存在(或为∞)
        4. ==>lim(x->a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f''(x)F'(x)
    3. 使用洛必达法则需要注意的几个问题
      1. 使用洛必达法则之前, 应该先检验其条件是否满足
      2. 如果使用洛必达法则之后, 命题仍是未定型极限,且符合洛必达法则的条件,可以再次使用洛必达法则
      3. 如果'0/0'型或者'∞/∞'极限中含有非零因子, 该非零因子可以单独求极限, 不必参与洛必达法则运算, 以简化运算
      4. 如果能进行等价无穷小代换或恒等变形配合使用洛必达法则,也可以简化运算
  12. 函数的单调性与曲线的凹凸性
    1. 定理1: 设函数f(x)在开区间I内可导, 若f'(x)>0, (f'(x)<0), 则f(x)在I内单调递增(递减)
  13. 曲线的凹凸与拐点
    1. 定义: 设函数f(x)在区间I上连续, 任意x1, x2€I
      1. 若恒有f[(x1+x2)/2] < [f(x1) + f(x2)] / 2,则称f(x)的图形使凹的
      2. 若恒有f[(x1+x2)/2] > [f(x1) + f(x2)] / 2,则称f(x)的图形使凸的
      3. 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点
      2. 定理2: (凹凸判定法)设函数f(x)在区间I上由二阶导数
      1. 在I内f''(x)>0, 则f(x)在I内图形是凹的;
      2. 在I内f''(x)<0, 则f(x)在I内图形是凸的.
    2. 说明:
      1. 若在某点二阶导数为0, 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变
      2. 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
        1. 若曲线y=f(x)在点x0连续, f''(x)=0或不存在,但f''(x)在x0两侧异号, 则点(x0, f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点
  14. 函数的极值与最大值最小值
    1. 函数的极值极其求法. 定义: 设函数f(x)在(a,b)内有定义, x0 € (a,b),若存在x0的一个邻域, 在其中当x≠x0时,
      1. f(x) < f(x0), 则称x0为f(x)的极大值点, 称f(x0)为函数的极大值;
      2. f(x)>f(x0),则称x0围殴f(x)的极小值点, 称f(x0)为函数的极小值.
      3. 极大值与极小值统称为极值点
    2. 定理1: 设函数f(x)在x0的某邻域内连续, 且在空心邻域内有导数, 当x由小到大通过x0时,
      1. f'(x)"左正由负", 则f(x)在x0取极大值
      2. f'(x)"左负右正", 则f(x)在x0取极小值
    3. 定理2: 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数, 且f'(x0)=0, f''(x)≠0
      1. 若f''(x0)<0, 则f(x)在点x0取极大值
      2. 若f(x0)>0, 则f(x)在点x0取极小值
posted @ 2021-03-11 21:38  帅爆太阳的男人  阅读(1592)  评论(0)  编辑  收藏  举报