2.4 进制转换
2.4 进制转换
日常生活中我们计数的方式有很多，如一年有12个月，则是十二进制，一周有七天，则是七进制，等等。平常我们用的最多的最习惯的十进制，是古人留下来的财富。需要强调的是任何一个值都可以用任何一种进制描述，但它的值是不变的，正如我们今天在一周中可以描述为星期几，在一个月中描述为多少号一样。
使用R进制计数的规则：
只使用R个基数：0，1，2，···，R-1；
逢R进一，退一当R进行数的运算。
2.4.1 R进制数转化为十进制数
这个转化问题较简单，根据上面讲的R进制的计数规则进行展开就得到相应的十进制数的表示方法。
（anan-1···a1a0.a-1a-2···a-m）R
=an*Rn+an-1*Rn-1+···+a1*R1+a0*R0+a-2*R-2+···+a-m*R-m
= ai*Ri。
2.4.2 十进制数转化为R进制数
由于十进制数的整数与小数转化为R进制的方法不同，所以必须分开讨论。先看十进制整数的转化，再讨论十进制小数的转化，最后讨论R进制的计数及转化问题。
1. 进制整数的转化
通过具体实例进行分析，如对十进制数325转化，根据原理可
按下式这样假设：
（325）10＝3*102+2*101+5*100
＝（anan-1…a1a0）R
＝an*Rn+an-1*Rn-1+…+a1*R1+a0*R0
＝（an*Rn-1+an-1*Rn-2+…+a1）*R+a0
两边同时除以R，得到整数部分和整数部分相等，余数和余数相等，显然右边的余数就是a0，再进行同样的处理就得到a1，一直这样进行下去，直到左边的数为0时为止，由于先求出的是R进制的最低位，再按求解过程倒过来写出就得到相应的R进制数。
以R＝6为例，（325）10＝（1301）6，转化过程详见图2－1所示。
十进制数转化为R进制数，得到整数部分的转换规律就是“除R取余，反序输出”。
2. 十进制小数的转化
通过具体实例进行分析，如对十进制数0.325转化，根据原理
以这样假设：
（0.375）10＝3*10-1+7*10-2+5*10-3
＝（0.a-1a-2…a-m）R
＝a-1*R-1+a-2*R-2+…+a-m*R-m
＝（a-1+a-2*R-1+…+a-m*R-m+1）*R-1
两边同时乘以R，等式两边的整数部分和小数部分分别相等，显然右边的整数部分就是a-1，再去掉等式的整数部分，然后进行相同的处理，就求得了a-2，一直进行下去，直到左边的值为0时或到要求的精度为止，这样就将十进制小数转化为相应的R进制数了。
以R＝2为例，（0.375）10＝（0.011）2，求解过程详见图2－2所示，这样就将十进制小数转化为相应的R进制数，得到小数部分的转换规律就是“乘R取整，顺序输出”。
3.进制数转化－R进制数
大家对R进制数都已经很熟悉了，但是，还有一种－R进制数。任何一个整数n都可以表示成n＝，其中∈〔0,R－1〕，是整数。并且>=0。
现在我们来讨论R进制数怎么转化为－R进制数。需不需要先将R进制数转化为十进制数，
再将相应的十进制数利用上面的转化归律化为－R进制数，当然这是一种方法，但我们完全可以不必这么做。不妨以一个具体实例来讨论转化规律，如：
＝4*63＋3*62＋2*61＋5*60。
将等式右边改写成一个－6进制数的形式：
4*（－6）3＋3*（－6）2＋2*（－6）1＋5*(-6)0。
比较观察一下，发现偶次幂的项与6进制数的相等，差别出在奇次幂的项，怎样修改才使它满足-6进制数表示的形式呢？记住我们计算的原理：进制只是表示方式不同，值是不变的
那么对于上面我们倒数第二项：2*61＝X*（－6）1，而基数X是一个0到5之间的数，显然是不能成立的，要相信，X只能等于-2，而-2不能作为－6进制数的基数，解决这个问题就向高位借一个1，这样X变为（6.-2），由于高位已经是相等的，所以高位的基数相应要加1。若高位基数加1后，值已超过5，则修改幂。这样就能确保值没有变。
2.4.3 应用举例
在信息学奥赛中，巧妙地使用某些数制的特点，可能使解题变得相当简单。请看下面几道例题。
例15 火车转轨问题。
图2-3中两条轨道连接到一个铁路转轨处，形成一个铁路转轨网络的栈。其中右边轨道为输入端。如果执行了Push,Push,Pop,Push,Push,Pop,Pop,Pop,就会将输入端的车皮编号顺序1,2,3,4变成2,4,3,1，请编程求左边车皮编号为1,2,3,4时，在右边轨道可能得到的所有车皮编号顺序。
【算法分析】
这个例子是典型的栈应用题。但如果单纯使用栈技术，则在不断的判定入栈出栈过程中，很容易迷失方向。现在让我们仔细分析，看看有没有其他方法可以解决此题：①四列车必须经过转轨才能到达轨道的另一端，且进栈出栈各一次；②如果以1代表进栈，0代表出栈，则火车转轨可以用一相二进制数来表示，如，10代表火车进栈后出栈，01代表火车出栈后进栈；③四列火车都到达转轨的另一侧，一共进出栈八次，恰好一个字节8个位；④由于必须先进栈才能出栈，故在二进制的每一位数前，1的个数总不少于0的个数，否则转轨内无车可出。这样就巧妙地利用数的进制将原问题转化为一个求0至255内的二进制数中符合相应条件的数的个数。
【参考程序】
CONST n=4; {火车轨程序}；
VAR
a,b,c:array[1..n] of integer;
top,I:integer;
FUNCTION judge(m:integer):Boolean; {判断二进制数m是否满足条件④}；
VAR
S0,s1:integer; {s0为0的个数，s1为1的个数}
I:integer;
BEGIN
Judge:=true;
S0:=0;
S1:=0;
FOR I:=1 to 2*n do
BEGIN {从后往前计算0和1的个数}
IF m mod 2 =0 THEN s0:=s0+1 ELSE s1:=s1+1;
M:=m div 2;
If s0<s1 THEN BEGIN {如果0的个数比1的个数少，则不满足条件}
Judge:=false;
Exit;
End；{THEN}；
END;{FOR};
IF s0<>s1 THEN BEGIN {如果整个数的0与1的个数不相等，也不满足条件}；
Judge:=false;
Exit;
END；{THEN}
END；{judge}
PROCEDURE push; {进栈}
VAR I:integer;
BEGIN
B[top]:=a[1];
Top:=top+1;
FOR I:=1 to n-1 DO a[I]:=a[I+1];
A[n]:=0;
Write(‘push’);
END;{push};
PROCEDURE pop; {出栈}
VAR I:integer;
BEGIN
Top:=top-1;
FOR I:=1 to n-1 DO c[I]:=c[I+1];
C[n]:=b[top];
Write(’POP’);
END;
PROCEDURE print(m:integer); {输出满足条件的情况}
VAR
T:array[1..2*n] of bollean;
I:integer;
BEGIN
Write(m,‘ ‘);
FOR I:=1 TO N DO A[I]:=I;
FOR I:=1 to 2*n DO
BEGIN
T[I]:=(m mod 2=0)；
M:=m div 2;
END;{FOR};
FOR I:=2*n DOWNTO 1DO
IF t[I] THEN pop ELSE push;
FOR I:=I to DO write(c[I]);
Writeln;
END;
BEGIN {主程序}
Top:=1;
FOR I:=1 to 255 DO {8个位，最多为255}
IF judge(i) THEN print(i);
Writeln;
END.
