概论公式之叶贝斯概论公式

1、条件概率公式

   　　 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

                                P(A|B)=P(AB)/P(B)

          设A,B是两个事件，且P(A)>0,则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（conditional probability)为：

                                P(B|A)=P(AB)/P(A)

2、乘法公式

     1.由条件概率公式得乘法公式：

                                P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

3、全概率公式

    1）、 如果事件组B1，B2，.... 满足

           （1）、B1，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....；

           （2）、B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分。

              设 B1，B2，...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

                                             

              上式即为全概率公式（formula of total probability)。

   2）、全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(Bi)，P(A|Bi)  (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得：

                             P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

   3）实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

        解：设任取一个产品是次品的事件为A，甲机床生产次品的事件为B1，乙机床生产次品的事件为B2，丙机床生产次品的事件为B3，则：

                             P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)

                                 =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

                                 =25%*5%+4%*35%+2%*40%

                                 =0.0345

4、贝叶斯公式

  1）、与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0)，有

                                

     上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

  2）、实例：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。

     解：设收报台收到信号“∪”为事件A，基本事件B1为发报台发出信号“∪‘’，基本事件B2为发报台发出信号“—‘’，则：

           P(B1|A）=[   P(B1)P(A|B1)  ]  / [ P(B1)P(A/B1) +P(B2)P(A/B2)  ]  

                   =(0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)

                   = 0.923