中国剩余定理

中国剩余定理

题目

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

题目抽象

求数x，使得 \(\begin{cases}x \equiv 2 (mod 3) \\ x \equiv 3(mod5) \\ x \equiv 2 (mod7) \end{cases}\)

解法

分别考虑特征方程
1.\(\begin{cases}x \equiv 1 (mod 3) \\ x \equiv 0(mod5) \\ x \equiv 0 (mod7) \end{cases}\)

2.\(\begin{cases}x \equiv 0 (mod 3) \\ x \equiv 1(mod5) \\ x \equiv 0 (mod7) \end{cases}\)

3.\(\begin{cases}x \equiv 0 (mod 3) \\ x \equiv 0(mod5) \\ x \equiv 1 (mod7) \end{cases}\)

易得对于方程1,由方程组中的2、3两式可设$x = 35m_1 \(,又x满足\)x mod 3 = 1$,所以\(35m_1 mod 3 =1\)。利用拓展欧几里得可求出对于上式推导的不定方程\(35m_1 + 3y = 1\),求得\(m_1\)的最小整数解为\(2\),即\(x_1 = 70\).
同上述步骤可求得\(x_2 = 21\),\(x_3 = 15\).

可以看出，满足上述特征方程的每一个解\(x_i\),均是其中另外两个数的倍数,与剩下的数关于1同余.那么我们可以知道,若有一个整数\(p\),那么可以看出,\(px\)是其特征方程关于该数与0同余的数的倍数,关于 关于该数与1同余的数 与 \(p\) 同余。

也就是说,举第一个方程为例, \(\begin{cases}px \equiv p (mod 3) \\ px \equiv 0(mod5) \\ px \equiv 1 (mod7) \end{cases}\)

现在来考虑从特征方程的解构造原同余方程的解。

从上面的说明可以得出,\(2x_1\)可以满足第一个方程,\(3x_2\)可以满足第二个方程,\(2x_3\)可以满足第3个方程。即将余数带入上文的字母p,从而使得满足该条件。

那么如何使得3个条件同时满足?

将解得3个x值相加,就可以得到一个满足所有条件的解。

简单的证明:
$x_1 | 5 且 x_1 | 7 , x_ 1 mod 3 = 2 $
略.

可以得出一个解\(x_1 * 2 + x_2 * 3 + x_3 * 2 = 233\)。
但这个是最后的解嘛?显然不是，因为这个解大于105.105是同余方程中所有模数的最小公倍数,显而易见地答案有无数个,如果最小的答案是\(t\),那么任何的\(t + 105k\)也是答案,因为每一个105总可以被3个模数同时整除.

所以最后的答案是\((x_1 * 2 + x_2 * 3 + x _3 * 2 ) mod 105 = 23\),这只是满足条件的最小解,解有无数个,具体来说,解集是\(\{x | x = 23 + 105k\}\).注意，本证明中出现的所有数均为非负整数。

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