多项式

合集 - 数学(6)

1.组合数学01-222.数论01-223.前置数学01-224.欧拉函数2024-07-255.线性代数01-20

6.多项式01-22

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多项式#

拉格朗日插值#

用于对于 $n+1$ 个点，可以求出它的函数表达式 $L(n)$。

即

$$\sum _{i=1}^{n+1}(y_i\frac{\prod _{j=1}^{n+1}(x-x_j)(i\ne j)}{\prod _{j=1}^{n+1}(x_i-x_j)(i\ne j)})$$

证明

设 $L_i(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，且满足

$$\{\begin{array}{l}{L}_i(x_i)=y_i\\ L_i(x_j)=0(i\ne j)\end{array}$$

即 $L_i(x)$ 仅满足 $x_i$ ，而其他的 $x_j$ 则必须对应为零。

那么 $L=\sum _{i=1}^{n+1}{L}_i$。

如何构造 $L_i$ 呢？

可以考虑先构造 $L_i^{\prime }(x)$，使其满足

$$\{\begin{array}{l}{L}_i(x_i)=1\\ L_i(x_j)=0(i\ne j)\end{array}$$

那么 $L_i=y_i{L}_i^{\prime }$。

可以得出 $L_i^{\prime }(x)$ 可以是下面的多项式：

$$\frac{\prod _{j=1}^{n+1}(x-x_j)(i\ne j)}{\prod _{j=1}^{n+1}(x_i-x_j)(i\ne j)}$$

那么 $L_i(x)$ 就应该是:

$$yi\frac{\prod _{j=1}^{n+1}(x-x_j)(i\ne j)}{\prod _{j=1}^{n+1}(x_i-x_j)(i\ne j)}$$

因为 $L=\sum _{i=1}^{n+1}{L}_i$，所以 $L(x)$ 应该为：

$$\sum _{i=1}^{n+1}(y_i\frac{\prod _{j=1}^{n+1}(x-x_j)(i\ne j)}{\prod _{j=1}^{n+1}(x_i-x_j)(i\ne j)})$$

这就是拉格朗日插值法。