前置数学

合集 - 数学(6)

1.组合数学01-222.数论01-22

3.前置数学01-22

4.欧拉函数2024-07-255.线性代数01-206.多项式01-22

收起

一些必要 trick#

1. 推式子，先提 $\sum$ 和 $\mathrm{\Pi }$ 到最前面，然后从后往前合并，必要时考虑更改 $\sum$ 的取值
2. 看到次方变为斯特林数，$x^n=\sum _{i=0}^n\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})i!=\sum _{i=0}^n\sum _{i=1}^m(-1{)}^{m-i}\frac{i^n}{(m-i)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})$
3. 注意莫反、欧反的形式

前置数学知识#

函数#

指数函数#

$y=a^x$

对数函数#

$y={\log }_{a}x$

$x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}$

${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_{a}xy$

对指数函数关于直线 $y=x$ 对称

离散数学#

集合#

$\mathbb{S}=\{1,2,3,5\}$

$x=3,x\in \mathbb{S}$

$y=4,y\notin \mathbb{S}$

${\mathbb{S}}^{\prime }=\{1,2,3\},{\mathbb{S}}^{\prime }\subseteq \mathbb{S}$

${\mathbb{S}}^{″}=\{1,2,4\},{\mathbb{S}}^{″}⊊\mathbb{S}$

空集$\varphi$为任何非空集的子集。

映射#

• 两个集合中每一个元素都有相对应的元素，称为满射。
• 两个集合中其中两个元素仅与另一个元素对应，称为单射。
• 两个集合中所有元素一一对应，称为一一映射（双射）。
• 两个集合等势，即可形成一一映射（双射）。
  例：$x|1\le x\le 2$ 与 $y|2\le y\le 5$ 等势。

数列#

$$a=\{2,3,4,4,2\}$$

$$\text{则 }{a}_1=2,a_2=3,a_3=3,a_4=4,a_5=2$$

• 等差数列：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

$$\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$

• 等比数列：

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

$$\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

数论#

最大公约数#

$$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$$

最小公倍数#

$$\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{xy}{gcd(x,y)}$$

$$\mathrm{lcm}(x,y)\cdot gcd(x,y)=xy$$

裴蜀定理#

• 内容：设 $a,b$ 是不全为零的整数，对任意整数 $x,y$，满足 $gcd(a,b)\mid ax+by$，且存在整数 $x,y$, 使得 $ax+by=gcd(a,b)$.
• 逆定理：设 $a,b$ 是不全为零的整数，如果 $d>0$ 是 $a,b$ 的公因数，且存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=d$，那么 $d$ 就是最大公因数 $gcd(a,b)$
• 推广：设$a_1,a_2,...,a_n$ 是不全为零的整数，一定存在整数 $x_1,x_2,...,x_n$，使得 $a_1{x}_1+a_1{x}_2+...+a_n{x}_n=gcd(a_1,a_2,...,a_n)$
• 推论：方程 $ax+by=n$，$n>ab-a-b$ 时总有解，$n=ab-a-b$ 是最大无解情况
• 裴蜀定理进一步结论：
  若 $gcd(a,b)=1$，对于方程 $ax+by=n$，设$C=ab-a-b$，则 $n,C-n$ 中有且仅有一个有非负数解，且有如下关系：

$n$ 的值域	有非负数解
$(-\mathrm{\infty },0)$	$0$
$0$	$1$
$(0,C)$	$-$
$C$	$0$
$(C,\mathrm{\infty })$	$1$

欧几里得引理（Euclid's lemma）

• 内容
  $c|ab,gcd(a,c)=1\Rightarrow c|b$.

$p|ab\Rightarrow p|a\text{或}p|b$.

证明

由裴蜀定理得 $au+cv=1$.

$\Rightarrow aub+cvb=b$.

$\Rightarrow c\mid b$.

拓展欧几里得#

根据以下两个定理，可以求出线性同余方程 $ax\equiv b(\mathrm{mod}n)$ 的解。

定理 1：线性同余方程 $ax\equiv b(\mathrm{mod}n)$ 可以改写为如下线性不定方程：

$$ax+nk=b$$

其中 x 和 k 是未知数。这两个方程是等价的，有整数解的充要条件为 $gcd(a,n)|b$。

应用扩展欧几里德算法可以求解该线性不定方程。根据定理 1，对于线性不定方程 $ax+nk=b$，可以先用扩展欧几里得算法求出一组 $x_0,k_0$，也就是 $a{x}_0+n{k}_0=gcd(a,n)$，然后两边同时除以 $gcd(a,n)$，再乘 $b$。就得到了方程

$$a{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,n)}}{x}_0+n{\displaystyle \frac{b}{gcd(a,n)}}{k}_0=b$$

于是找到方程的一个解。

定理 2：若 $gcd(a,n)=1$，且 $x_0、k_0$ 为方程 $ax+nk=b$ 的一组解，则该方程的任意解可表示为：

$$x=x_0+nt$$

$$k=k_0-at$$

并且对任意整数 $t$ 都成立。

根据定理 2，可以从已求出的一个解，求出方程的所有解。实际问题中，往往要求出一个最小整数解，也就是一个特解

$$x=(xmodt+t)modt$$

其中有

$$t={\displaystyle \frac{n}{gcd(a,n)}}$$

如果仔细考虑，用扩展欧几里得算法求解与用逆元求解，两种方法是等价的。

---

这里的 $q$ 不需要为素数

求解 $gcd(a,b)$ 及满足 $ax+by=gcd(a,b)$ 的整数解.

第 $i$ 步带余除法得的商为 $q_i$，余数为 $r_i$.

扩展欧几里得算法可以写成：

$$r_0=a,r_1=b.$$

$$s_0=1,s_1=0.$$

$$t_0=0,t_1=1.$$

$$⋮$$

$$r_{i+1}=r_{i-1}-r_i{q}_i.$$

$$s_{i+1}=s_{i-1}-s_i{q}_i.$$

$$t_{i+1}=t_{i-1}-t_i{q}_i.$$

$$⋮$$

$$x=s_n,y=t_n,(r_{i+1}=r_i{q}_i).$$

唯一分解定理#

• 内容
  任意一个正整数 $a\ge 2$，必然有且仅有一种形如 $p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}{p}_3^{{\alpha }_3}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ 的分解方法，其中，$p_i<p_{i+1}$，${\alpha }_i$ 为正整数，$0<i\le k$.

证明

设 $m$ 为最小的不满足此定理的 $a$，$m$ 的两种表示方法为：

$$p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}{p}_3^{{\alpha }_3}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$$

$$q_1^{{\beta }_1}{q}_2^{{\beta }_2}{q}_3^{{\beta }_3}\cdots q_g^{{\beta }_g}$$

则 $p_1\mid q_1^{{\beta }_1}{q}_2^{{\beta }_2}{q}_3^{{\beta }_3}\cdots q_g^{{\beta }_g}$，由欧几里得引理知 $p_1\mid q_j$ (不妨把这个 $q_j$ 设为 $q_1$ )，由于 $q_1$ 是个质数，所以 $p_1=q_1$，那么设数 $n=\frac{m}{p_1}=\frac{m}{q_1}$，很明显 $n<m$，又发现 $n$ 可以表示为：

$$p_1^{{\alpha }_1-1}{p}_2^{{\alpha }_2}{p}_3^{{\alpha }_3}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$$

$$q_1^{{\beta }_1-1}{q}_2^{{\beta }_2}{q}_3^{{\beta }_3}\cdots q_g^{{\beta }_g}$$

所以 $m$ 不是最小的不满足此定理的 $a$.

欧拉筛#

欧拉函数

• 定义

$$\phi (a)=\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$$

• 计算公式

$$\phi (a)\phi (b)=\phi (ab),gcd(a,b)=1.$$

$$\phi (p)=p-1.$$

$$\phi (p^k)=p^k-p^{k+1}.$$

同余类#

模 $n$ 同余的数构成 $n$ 的一个同余类.又称“剩余类”，同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类，称为该同余类的代表数.

剩余系#

从构成 $n$ 的不同同余类中取各一个数组成的集合，它们互不同余.

完全剩余系，最小剩余系和简约剩余系#

完全剩余系是从构成 $n$ 的每个同余类中取各一个数组成的集合.（$n$ 个元素）

如果里面的每个元素都是该同余类中最小的非负整数，称它为最小剩余系.（$n$ 个元素）

将完全剩余系中去掉与模 $n$ 不互素的元素，得到简约剩余系.（$\phi (n)$ 个元素）

完全剩余系的性质#

• 内容
  若 $A$ 是 $n$ 的一个完全剩余系，且 $gcd(a,b)=1$，则 $aA+b$ 也是 $n$ 的一个完全剩余系.

同余#

$$a\equiv b(\mathrm{mod}p)\mathtt{\text{，则}}a=b+kp(k\in \mathbb{Z})$$

费马小定理#

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$

$$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p).$$

其中第一行需要 $gcd(a,p)=1$.

欧拉函数#

欧拉函数(Euler's totient function)，即 $\phi (n)$，表示的是小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数字个数，

例如 $\phi (1)=1$。

性质

$\bullet 1.$ 欧拉函数是积性函数。

$$ 积性函数的意思是：如果有 $gcd(a,b)=1$，那么则有 $\phi (a)=\phi (a)\times \phi (b)$。

$$ 特别的，当 $n$ 为奇数时，$\phi (2n)=\phi (n)$。

$\bullet 2.$ 当 $n$ 为质数时，有 $\phi (n)=n-1$。

$\bullet 3.$ $\mathrm{\forall }n>1,1$~$N$ 中所有与 $n$ 互质的数的和为 $\frac{n\cdot \phi (n)}{2}$

$$

证明

$$ 根据更相相减法，因为 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$，所以予 $n$ 互质的数 $x,n-x$ 成对出现，平均值为 $\frac{n}{2}$，故和为 $\frac{n\cdot \phi (n)}{2}$

$\bullet 4.$ 若 $p$ 为质数，则 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$。

$$

证明

$$ 因为 $p$ 为质数，所以与 $p$ 不互质的数就只能为 $p$ 的倍数，共 $p^{k-1}$ 个。所以减去这些就是 $\phi (n)$ 的值。

$\bullet 5.$ 若 $p$ 为质数，若 $p|n$ 且 $p^2|n$，则 $\phi (n)=\phi (\frac{n}{p})\cdot p$；若$p$为质数，若 $p|n$ 且 $p^2\nmid n$，则 $\phi (n)=\phi (\frac{n}{p})\cdot (p-1)$

$$

证明

$$ 第一条：因为 $n$ 与 $\frac{n}{p}$ 的质因子相同，只是 $p$ 的指数不同。所以 $\frac{\phi (n)}{\phi (\frac{n}{p})}=p$，即可得原式。

$$ 第二条：根据性质一，即欧拉函数为积性函数，可得 $\phi (n)=\phi (\frac{n}{p})\cdot \phi (p)$，因为 $p$ 为质数，由性质二可得原式。

$\bullet 6.$ $n=\sum _{d|n}^{}\phi (d)$。

$$ 证明如下图：

用法

举个栗子:The Euler function

题意：求$\sum _{i=a}^b\phi (i)$

如果枚举必定 $TLE$。

方法一：

用埃氏筛，由欧拉函数的展开式 $\phi (N)=N\cdot \prod _{\mathrm{质}\mathrm{数}p\mid N}^{}(\frac{p-1}{p})$，

对于筛出的每个质数 $p$，将 $p$ 的倍数的欧拉函数值除以 $p$ 再乘 $p-1$ 即可。

时间复杂度 $O(N\log N)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl "\n"
template<typename P>
inline void read(P &x){
   	P res=0,f=1;
   	char ch=getchar();
   	while(ch<'0' || ch>'9'){
   		if(ch=='-') f=-1;
   		ch=getchar();
   	}
   	while(ch>='0' && ch<='9'){
   		res=res*10+ch-'0';
   		ch=getchar();
	}
	x=res*f;
}
using namespace std;
const int N=3000005;
int a[N],b[N],tot=1,maxn;
int phi[N];
void initprime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(int)i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(phi[i]==(int)i)
		for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]/=(int)i,phi[j]*=(int)(i-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
signed main(){
	auto solve=[&](){
		while(scanf("%d%d",&a[tot],&b[tot])!=EOF) maxn=max(maxn,b[tot]),tot++;
		initprime(maxn);
		for(int i=1;i<tot;i++) printf("%lld\n",phi[b[i]]-phi[a[i]-1]);
		return;
	};
	return 0;
}

方法二自己搜，不想写了。

欧拉定理#

当 $gcd(a,n)=1$ 时：

$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n).$$

乘法逆元#

如果一个线性同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$，则 $x$ 称为 $amodb$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。

• 扩展欧几里得法

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1, y = 0;
    return;
  }
  exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
}

扩展欧几里得法和求解线性同余方程是一个原理，在这里不展开解释。

• 快速幂法

因为 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$；

所以 $ax\equiv a^{b-1}(\mathrm{mod}b)$（根据 费马小定理）；

所以 $x\equiv a^{b-2}(\mathrm{mod}b)$。

int qpow(long long a, int b) {
  int ans = 1;
  a = (a % p + p) % p;
  for (; b; b >>= 1) {
    if (b & 1) ans = (a * ans) % p;
    a = (a * a) % p;
  }
  return ans;
}

注意：快速幂法使用了 费马小定理，要求 $b$ 是一个素数；而扩展欧几里得法只要求 $gcd(a,b)=1$。

约数数量#

$$(k_1+1)\times (k_2+1)\times ...\times (k_n+1)$$

$$\sum _{i=1}^n{k}_i+1$$

约数和#

$$\prod _{i=1}^n\sum _{j=1}^{}{p}_i^{k_j}$$

容斥原理#

$$A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$$

排列组合#

• 定义:
  从 $n$ 个数中选 $m$ 个数考虑顺序组合方法数:

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

• 定义:
  从 $n$ 个数中选 $m$ 个数不考虑顺序组合方法数:

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

$$C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}$$

卡特兰数#

该递推关系的解为：

$$H_n=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{n+1}(n\ge 2,n\in {\mathbf{N}}_{\mathbf{+}})$$

关于 Catalan 数的常见公式：

$$\begin{gathered} H_n=\{\begin{array}{ll}\sum _{i=1}^n{H}_{i-1}{H}_{n-i}& n\ge 2,n\in {\mathbf{N}}_{\mathbf{+}}\\ 1& n=0,1\end{array} \\ {H}_n=\frac{H_{n-1}(4n-2)}{n+1} \\ {H}_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-1}) \end{gathered}$$

二项式定理#

在进入排列组合进阶篇之前，我们先介绍一个与组合数密切相关的定理——二项式定理。

二项式定理阐明了一个展开式的系数：

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i$$

证明可以采用数学归纳法，利用
${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}+{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})}$ 做归纳。

二项式定理也可以很容易扩展为多项式的形式：

设 $n$ 为正整数，$x_i$ 为实数，

满足的非负整数解

$$(x_1+x_2+\cdots +x_t{)}^n=\sum _{\mathrm{满}\mathrm{足}{n}_1+\cdots +n_t=n\mathrm{的}\mathrm{非}\mathrm{负}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{解}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,n_2,\cdots ,n_t})x_1^{n_1}{x}_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}$$

其中的
${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,n_2,\cdots ,n_t})}$ 是多项式系数，它的性质也很相似：

$$\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,n_2,\cdots ,n_t})=t^n$$

第二类斯特林数#

• 定义:
  将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数，记为:

$$S(n,m)$$

• 性质:

$$S(n,0)=0$$

$$S(n,1)=1$$

$$S(n,n)=1$$

$$S(n+1,m)=S(n,m-1)+m\cdot S(n,m)$$

复数#

• $\text{形如 }i=\sqrt{-1}$

$\text{便能有 }{i}^2=-1$

$\text{在复实数坐标轴上，一个点表示为 }A=a+bi，\text{同等转化到笛卡尔坐标系，相当于 }A(a,bi)$

• $\text{复数运算定义为:}$

$$\begin{gathered} A=a+bi \\ B=c+di \\ \mathrm{则}A+B=a+c+bi+di \\ \mathrm{也}\mathrm{有}A\cdot B\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{为}A\mathrm{的}\mathrm{幅}\mathrm{度}\mathrm{加}B\mathrm{的}\mathrm{幅}\mathrm{度}，\mathrm{其}\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{为}A\cdot B \end{gathered}$$

概率与期望#

概率#

• 概率一般用 $P$ 表示
• 性质:

1.单调性：$\mathrm{若}A\subset B，\mathrm{则}\mathrm{有}P(A)\le P(B)$

2.容斥原理：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

3.$P(A+B)=P(A)-P(AB)，\mathrm{这}\mathrm{里}A-B\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{差}\mathrm{集}$

• $P(B|A)=\frac{P(B|A)P(B)}{P(A)}$

期望#

• 期望一般用 $E$ 表示
• 性质：

1.线性性：若随机变量 $X,Y$ 的期望存在，则

对任意实数 $a,b$，有 $E(aX+b)=a\cdot EX+b$

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

2.随机变量乘积的期望

若随机变量 $X,Y$ 的期望存在且 $X,Y$ 相互独立，则有

$E(XY)=EX\cdot EY$

注意：上述性质中的独立性 并非 必要条件。

期望与概率的转化#

对于随机事件 $A$，考虑其示性函数 $I_A$：

$$I_A(\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& \omega \in A\\ 0,& \omega \notin A\end{array}$$

根据定义可以求得其期望 $E{I}_A=P(A)$。这一转化在实际应用中非常常见。

方差#

定义

设随机变量 $X$ 的期望 $EX$ 存在且期望

$$E(X-EX{)}^2$$

也存在，则称上式的值为随机变量 $X$ 的 方差，记作 $DX$ 或 $Var(x)$。方差的算术平方根称为标准差，记作 $\sigma (X)=\sqrt{DX}$。

方差的性质

若随机变量 $X$ 的方差存在，则

对任意常数 $a,b$ 都有 $D(aX+b)=a^2\cdot DX$

$DX=E(X^2)-(EX{)}^2$

协方差与相关系数

一般来说，等式 $D(X+Y)=DX+DY$ 并不成立，我们自然会提出两个问题：

$D(X+Y)$ 与 $DX+DY$ 之间相差的部分到底是什么。
$D(X+Y)$ 与 $DX+DY$ 在什么情况下相等。
对于第一个问题，我们引入协方差作为解答。

协方差的定义#

对于随机变量 $X,Y$，称

$$E((X-EX)(Y-EY))$$

为 $X$ 与 $Y$ 的 协方差，记作 $\mathrm{Cov}(X,Y)$。

协方差的性质

对于随机变量 $X,Y,Z$，有

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$

对任意常数 $a,b$，有 $\mathrm{Cov}(aX+bY,Z)=a\cdot \mathrm{Cov}(X,Z)+b\cdot \mathrm{Cov}(Y,Z)$

同时协方差与方差也有如下联系：

$DX=\mathrm{Cov}(X,X)$

对于刚才提出的第二个问题，不难看出 $D(X+Y)=DX+DY$ 当且仅当 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$。一个直观的必要条件是 $X$ 与 $Y$ 独立，因为此时有

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E((X-EX)(Y-EY))=E(X-EX)E(Y-EY)=0$$

但这个条件并不是充分的。为了描述满足 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 的随机变量 $X,Y$ 之间的关系，我们引入相关系数

平面向量#

• 意义：

表示为一条有长度的线段，通常表示移动一段距离，通常形式为 $\mathit{a}=\overrightarrow{AB}$

• $|AB|$ 表示为向量 $\mathit{a}$ 的距离（或长度）

如上图中，能得出向量加减定则

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD} \end{gathered}$$

• 乘法定则

$$\overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{E_2}=|\overrightarrow{E_1}|\cdot |\overrightarrow{E_2}|\cdot \cos <E_1,E_2>$$

运用：例，求 $BD$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{BD}& =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\\ & =\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\ & =\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BD}& =(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}{)}^2\\ & =\frac{4}{9}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^2\\ \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{乘}\mathrm{法}\\ & =4+\frac{10}{3}+\frac{25}{9}\\ & =\frac{91}{9}\\ \therefore \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BD}& =|BD{|}^2=\frac{91}{9}\\ \therefore BD& =\frac{\sqrt{91}}{3}\end{array}$$

数学万恶之源