线性代数

合集 - 数学(6)

1.组合数学01-222.数论01-223.前置数学01-224.欧拉函数2024-07-25

5.线性代数01-20

6.多项式01-22

收起

向量#

定义#

1. 向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\overrightarrow{a}$ 或 $\mathit{a}$。
   在物理中通常也叫「矢量」。

2. 向量的模：代表向量的长度，记：$|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|a|$。

3. 平行向量： 方向相反或相同的两个非零向量，又叫共线向量，记作：$a||b$。

向量线性运算#

加减法#

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$，那么他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ ，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

整理一下向量的加法法则：

1. 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
2. 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

乘法（数乘）#

1. $|\lambda \mathit{a}|=|\lambda ||\mathit{a}|$；
2. 当 $\lambda >0$ 时，$\lambda \mathit{a}$ 与 $\mathit{a}$ 同向，当 $\lambda =0$ 时，$\lambda \mathit{a}=\mathbf{0}$，当 $\lambda <0$ 时，$\lambda \mathit{a}$ 与 $\mathit{a}$ 方向相反。

比较显然。

平面向量基本内容#

平面向量基本定理#

内容：如果两个向量 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$，使得与 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$ 共面的任意向量 $\mathit{p}$ 满足 $\mathbf{p}=x{\mathit{e}}_{\mathbf{1}}+y{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$。

我们通常会使用 $e1=1,e2=1$ 这样一对向量来表示平面向量所有点，即点 $(0,1),(1,0)$，这两个点显然是不共线的，因为一个在 x 轴一个在 y 轴，同时所有的点确实可以由这两个向量线性加法得出。

其实只要任意两个线性无关的向量就可以得到所有的平面向量，我们把这组向量叫做基，任何一组基都能张成一个空间。

内积与外积#

在数学，翻译成「内积」和「外积」，「点乘」和「叉乘」是根据运算符号的来的俗称，也很常见。

在物理，一般叫做「标积」和「失积」。

内积#

内积的概念对任意维度的向量都适用。

定义

1. 几何定义

   在 $n$ 维欧式空间 ${\mathbf{R}}^n$ 下,已知两个向量 $a,b$,它们的夹角为 $\theta$，那么：

   $$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$$

   相当于将 $b$ 投影到 $a$ 上，再乘。

2. 代数定义

   在 $n$ 维欧氏空间 ${\mathbf{R}}^n$ 下，已知两个向量 $\mathit{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n),\mathit{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，那么：

   $$a\cdot b=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

这个就是两个向量的内积，也叫点积或数量积。为了不引起混淆，点号可以省略。

如果向量有 2 次方，默认代表为模长的平方（与自身的内积）。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 4，而是必须将上角标 2 的结果视为一个整体，以此类推。

性质

可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，内积满足：

$$\begin{array}{rl}(\mathit{a}+\mathit{b})\cdot \mathit{c}& =\mathit{a}\cdot \mathit{c}+\mathit{b}\cdot \mathit{c}\\ \mathit{a}\cdot (\mathit{b}+\mathit{c})& =\mathit{a}\cdot \mathit{b}+\mathit{a}\cdot \mathit{c}\\ (\lambda \mathit{a})\cdot \mathit{b}& =\lambda (\mathit{a}\cdot \mathit{b})\\ \mathit{a}\cdot (\lambda \mathit{b})& =\lambda (\mathit{a}\cdot \mathit{b})\end{array}$$

内积还满足交换律，即：

$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=\mathit{b}\cdot \mathit{a}$$

应用

下面介绍内积运算的一些常见应用。

判定两向量垂直：

$$\mathit{a}\perp \mathit{b}⟺\mathit{a}\cdot \mathit{b}=0$$

即互相垂直的两个向量的内积，结果为 $0$；向量与零向量内积，结果为 $0$。如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直。

判定两向量共线：

$$\mathrm{\exists }\lambda \in \mathbf{R}(\mathit{a}=\lambda \mathit{b})⟺|\mathit{a}\cdot \mathit{b}|=|\mathit{a}||\mathit{b}|$$

计算向量的模：

$$|\mathit{a}|=\sqrt{\mathit{a}\cdot \mathit{a}}$$

计算两向量的夹角：

$$\theta =\arccos \frac{\mathit{a}\cdot \mathit{b}}{|\mathit{a}||\mathit{b}|}$$