欧拉函数

欧拉函数(Euler's totient function)，即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的数字个数，

例如 \(\varphi(1)=1\)。

性质

\(\bullet 1.\) 欧拉函数是积性函数。

$\ \ $ 积性函数的意思是：如果有 \(\gcd(a,b)=1\)，那么则有 \(\varphi(a)=\varphi(a) \times \varphi(b)\)。

$\ \ $ 特别的，当 \(n\) 为奇数时，\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)。

\(\bullet 2.\) 当 \(n\) 为质数时，有 \(\varphi(n)=n-1\)。

\(\bullet 3.\) \(\forall n>1,1\)~\(N\) 中所有与 \(n\) 互质的数的和为 \(\frac{n\cdot \varphi(n)}{2}\)

\(\hspace{0.5em}\) 证明：

\(\hspace{0.5em}\) 根据更相相减法，因为 \(\gcd(n,x)=\gcd(n,n-x)\)，所以予 \(n\) 互质的数 \(x,n-x\) 成对出现，平均值为 \(\frac{n}{2}\)，故和为 \(\frac{n\cdot \varphi(n)}{2}\)

\(\bullet 4.\) 若 \(p\) 为质数，则 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)。

\(\hspace{0.5em}\) 证明：

\(\hspace{0.5em}\) 因为 \(p\) 为质数，所以与 \(p\) 不互质的数就只能为 \(p\) 的倍数，共 \(p^{k-1}\) 个。所以减去这些就是 \(\varphi(n)\) 的值。

\(\bullet 5.\) 若 \(p\) 为质数，若 \(p\mathrel{|}n\) 且 \(p^2\mathrel{|}n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\cdot p\)；若\(p\)为质数，若 \(p\mathrel{|}n\) 且 \(p^2\nmid n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\cdot(p-1)\)

\(\hspace{0.5em}\) 证明：

\(\hspace{0.5em}\) 第一条：因为 \(n\) 与 \(\frac{n}{p}\) 的质因子相同，只是 \(p\) 的指数不同。所以 \(\frac{\varphi(n)}{\varphi(\frac{n}{p})}=p\)，即可得原式。

\(\hspace{0.5em}\) 第二条：根据性质一，即欧拉函数为积性函数，可得 \(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\cdot\varphi(p)\)，因为 \(p\) 为质数，由性质二可得原式。

\(\bullet 6.\) \(n=\sum\limits_{d\mathrel{|}n}^{}\varphi(d)\)。

\(\hspace{0.5em}\) 证明如下图：

用法

举个栗子:The Euler function

题意：求\(\sum\limits_{i=a}^{b}\varphi(i)\)

如果枚举必定 \(TLE\)。

方法一：

用埃氏筛，由欧拉函数的展开式 \(\varphi(N)=N\cdot\prod\limits_{质数p\mid N}^{}(\frac{p-1}{p})\)，

对于筛出的每个质数 \(p\)，将 \(p\) 的倍数的欧拉函数值除以 \(p\) 再乘 \(p-1\) 即可。

时间复杂度 \(O(N\log N)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl "\n"
template<typename P>
inline void read(P &x){
   	P res=0,f=1;
   	char ch=getchar();
   	while(ch<'0' || ch>'9'){
   		if(ch=='-') f=-1;
   		ch=getchar();
   	}
   	while(ch>='0' && ch<='9'){
   		res=res*10+ch-'0';
   		ch=getchar();
	}
	x=res*f;
}
using namespace std;
const int N=3000005;
int a[N],b[N],tot=1,maxn;
int phi[N];
void initprime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(int)i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(phi[i]==(int)i)
		for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]/=(int)i,phi[j]*=(int)(i-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
signed main(){
	auto solve=[&](){
		while(scanf("%d%d",&a[tot],&b[tot])!=EOF) maxn=max(maxn,b[tot]),tot++;
		initprime(maxn);
		for(int i=1;i<tot;i++) printf("%lld\n",phi[b[i]]-phi[a[i]-1]);
		return;
	};
	return 0;
}

方法二自己搜，不想写了。