欧拉函数

欧拉函数(Euler's totient function),即 φ(n),表示的是小于等于 n 的数中与 n 互质的数字个数,

例如 φ(1)=1

性质#

1. 欧拉函数是积性函数。

   积性函数的意思是:如果有 gcd(a,b)=1,那么则有 φ(a)=φ(a)×φ(b)

   特别的,当 n 为奇数时,φ(2n)=φ(n)

2.n 为质数时,有 φ(n)=n1

3. n>1,1~N 中所有与 n 互质的数的和为 nφ(n)2

证明:

根据更相相减法,因为 gcd(n,x)=gcd(n,nx),所以予 n 互质的数 x,nx 成对出现,平均值为 n2,故和为 nφ(n)2

4.p 为质数,则 φ(pk)=pkpk1

证明:

因为 p 为质数,所以与 p 不互质的数就只能为 p 的倍数,共 pk1 个。所以减去这些就是 φ(n) 的值。

5.p 为质数,若 p|np2|n,则 φ(n)=φ(np)p;若p为质数,若 p|np2n,则 φ(n)=φ(np)(p1)

证明:

第一条:因为 nnp 的质因子相同,只是 p 的指数不同。所以 φ(n)φ(np)=p,即可得原式。

第二条:根据性质一,即欧拉函数为积性函数,可得 φ(n)=φ(np)φ(p),因为 p 为质数,由性质二可得原式。

6. n=d|nφ(d)

证明如下图:

用法#

举个栗子:The Euler function

题意:求i=abφ(i)

如果枚举必定 TLE

方法一:

用埃氏筛,由欧拉函数的展开式 φ(N)=NpN(p1p)

对于筛出的每个质数 p,将 p 的倍数的欧拉函数值除以 p 再乘 p1 即可。

时间复杂度 O(NlogN)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl "\n"
template<typename P>
inline void read(P &x){
   	P res=0,f=1;
   	char ch=getchar();
   	while(ch<'0' || ch>'9'){
   		if(ch=='-') f=-1;
   		ch=getchar();
   	}
   	while(ch>='0' && ch<='9'){
   		res=res*10+ch-'0';
   		ch=getchar();
	}
	x=res*f;
}
using namespace std;
const int N=3000005;
int a[N],b[N],tot=1,maxn;
int phi[N];
void initprime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(int)i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(phi[i]==(int)i)
		for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]/=(int)i,phi[j]*=(int)(i-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
signed main(){
	auto solve=[&](){
		while(scanf("%d%d",&a[tot],&b[tot])!=EOF) maxn=max(maxn,b[tot]),tot++;
		initprime(maxn);
		for(int i=1;i<tot;i++) printf("%lld\n",phi[b[i]]-phi[a[i]-1]);
		return;
	};
	return 0;
}

方法二自己搜,不想写了。

作者:God_Max_Me

出处:https://www.cnblogs.com/lizihan00787/p/18323136

版权:本作品采用「God_Max_Me-非商业性使用」许可协议进行许可。

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