NOIP！

退位计划

全部颜色都选的限制很强，考虑对他容斥。

首先我们可以很容易求出 $n$ 个点最多用 $k$ 个点的答案为 $k(k-1{)}^{n-1}$。

那么我们此时多算了某个颜色没选的答案，需要减掉他，于是答案就显然了。

$\sum _{i=1}^k-1^{k-i}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\times i(i-1{)}^{n-1}$

单调栈

考虑一下对于一个 $b_i\ne -1$ 他会对值有什么限制。

不难发现 $j\in (b_i+1,i)$ 有 $a_j\le a_i$ 且 $a_i<a_{b_i}$。第一个条件不好搞。

转化一下第一个条件发现第三个条件是对于每个 $b_i=-1$ 要找到最小的 $j$ 满足 $j>i$ 且 $b_j<i$ 需要有 $a_i\le a_j$。又由于 $b_i\ne -1$ 也有这个限制条件，所以当自己不是最小的指向 $b_i$ 的点，第二个条件改为 $a_i<a_{la{s}_{b_i}}$，其中 $la{s}_{b_i}$ 为上一个 $b_j=b_i$ 的位置 $j$。

现在我们得到了每个点与其他点的大小关系，发现形成森林。那自然设 $f_{i,j}$ 表示点 $i$ 选数 $j$，直接 DP 就可以了。

树之间不影响所以最后扫一遍每个树的根统计一下答案即可。

Two Permutations

显然我们只关心 $P$ 的每一位匹配的位置，剩下的就是 $Q$ 的匹配。而每一位的 $P$ 是确定的，也就是说每一位在 $S$ 中只有两个匹配位置。

这个限制非常强，我们可以对其 DP。

设 $f_{i,0/1}$ 表示 $P$ 的第 $i$ 位匹配 $S$ 中第 $1/2$ 次出现的 $P_i$，转移讨论一下就可以了。

传送

还没写

B

非常喜闻乐见的想到差分，那么区间取反就是头尾的 01 取反，区间翻转就是区间头和区间尾建边。

我们把所有操作建边，最短路就知道把任意两个 1 变成 0 的答案，这个可以预处理好。

枚举哪两个一起变，直接计算最小值。

取模

显然对 $2$ 取模就有答案为 $2$，只需要看答案是否可以为 $1$ 即可。

从序列中随便找三个数，必然有两个模数相同，枚举差的因数就可以找到这个模数。剩下的一个数减余数取个 gcd 看下是否有就可以了。时间复杂度是 $O(n\log V)$，取极差小的 $V$ 可以卡过去。

quq

首先有贪心，把 $a$ 从大到小排序，那么在取完 $a_i-a_{i-1}$ 之前不会用 $i-1$ 号扭蛋机。

那么对于一个数 $i$，所有大于 $i$ 的已经扭到了，但是 $i$ 没有扭到，这个概率为 $\frac{1}{n-i+1}$，考虑选到 $<i$ 对两者都无影响，也就对概率无影响，否则就会在这其中选一个。每次都不选到 $i$ 且后面全部选完的概率就是 $\frac{1}{n-i+1}$。

在这个概率下，我需要选出这个。扭包含这个值的最小的扭蛋机，出他的期望次数就是值域。这个感性理解即可。

最后的答案把这些乘起来相加即可。

求排列(roast)

拆位。

找到最高的一位，这一位既有 $0$ 也有 $1$，那么必然有不同数的跨度。也就是说答案的这位必然是 $1$。

那么把数按照这一位分成两个集合，集合内乱走是不会影响答案的，只有跨集合会影响答案。

则一个集合建字典序，一个集合查异或最小值，集合之间的边左右两边异或必然是这个最小值，否则走这个边就是不优的。

接下来就变成走路题了，需要保证任意时刻不走到割点。一个点是割点只能是所有去对面的边都挂在这个节点上了。

所以按照字典序贪心，先找合法起点，他要么不是割点，要么就是集合内唯一的点。向前走一步，如果集合还有点，就不能走割点，其他就在出边中找最小值。

走完一圈就得到答案了。

仙人

无脑圆方树。

变成树后对于每个子树进行DP。

对于 $u$，我们考虑一个子树 $v$ 合并进来的贡献。拓扑序减去自己在最前面长 $si{z}_u-1$，合并长为 $si{z}_v$ 的拓扑序，由于子树之间是互不影响的，所以可以任意取位置，取完后要把这些位置删掉，则有 DP：

$$f_u=\prod f_v\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_v}{si{z}_u-1-\sum si{z}_{v^{\prime }}})$$

不过注意方点是没有 $siz$ 贡献的，而且最远点是要强制在最后的，所以刚才的 DP 不能用。

重设个 $n^2$ 的 DP $g_{l,r}$ 表示第 $l$ 到 $r$ 儿子排拓扑序的答案，则有

$$g_{l,r}=f_{so{n}_l}\times g_{l+1,r}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_{l,r}-1}{si{z}_{l+1,r}})+f_{so{n}_r}\times g_{l,r-1}\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{si{z}_{l,r}-1}{si{z}_{l,r-1}})$$

均摊时间复杂度 $O(n^2)$。

[5102IOSJ]最大公约数

福利题。

因为 $n=1000$，所以 $n^2={10}^6$，但是 $n^4={10}^{1}2$，所以考虑 $n^4$ 来做这个题。

枚举矩阵左下 $(i,j)$ 和右上角 $(f,k)$，不难发现 $gcd(i,j,f,k)=\gcd (gcd(i,j,f,k-1),\gcd (gcd(i,j,f-1,k),a(f,k)))$。现在我们获得了一个 $n^4$ 的做法。考虑优化它。

先优化空间，我们发现可以去掉前两维，这样可以跑 $1000$ 的数据。

然后我们发现，若 $gcd(f,k)=1$，那么对于任意 $f^{\prime }>f,k^{\prime }>k$，有 $gcd(f^{\prime },k^{\prime })=1$。可以剪枝优化。

分析时间复杂度。当数据是随机的，一但我们找到任意一个数与当前集合内任意数互质，那么我们就会退出。发现这样集合大小期望不会很大，大概 $100$ 左右，所以时间复杂度期望 $O(100n^2)$。