后缀数组学习笔记

概念

后缀数组，即对于一个串，它的每个后缀按字典序排序后得到的数组。

有两个数组要求：

1. \(SA_i\):排名为 \(i\) 的后缀的开头位置
2. \(RK_i\):以 \(i\) 为开头的后缀的排名

朴素

sort排序一下

优化

倍增优化：我们进行 \(\log n\) 次排序，第 \(k\) 次取所有后缀的前 \(2^k\) 个字符进行排序。若上次排序第 \(i\) 为开头的后缀排名为 \(rkl_i\)（可并列），那假如这次需要比较以 \(i\) 开头的串与以 \(j\) 开头的串，只需要先比较 \(rkl_i\) 与 \(rkl_j\)，若相等再比较 \(rkl_i+2^{k-1}\) 与 \(rkl_j+2^{k-1}\) 即可。显然这样是正确的。

#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
string a;
int sa[1000005],rk[1000005],tmp[1000005];
int k;
inline bool cmp(int x,int y)
{
    if(rk[x]==rk[y]) //前2^(k-1)相等，比较后k个 
    {
        int i=(x+k<=a.size()?rk[x+k]:-1); //防止越界 
        int j=(y+k<=a.size()?rk[y+k]:-1);
        return i<j;
    }
    return rk[x]<rk[y];
}
void GetSark()
{
    for(int i=0;i<=a.size();i++) //初始化 
    {
        sa[i]=i;
        rk[i]=(i<a.size()?a[i]+1:0);
    }
    for(int i=1;i<=a.size();i=i*2)
    {
        k=i;
        sort(sa,sa+a.size()+1,cmp); //基排懒了 
        tmp[sa[0]]=0; //暂存rk 
        for(int z=1;z<=a.size();z++)
        {
            tmp[sa[z]]=tmp[sa[z-1]]+(cmp(sa[z-1],sa[z])?1:0); //如果比上一个大，排名就增加 
        }
        for(int z=0;z<=a.size();z++)
        {
            rk[z]=tmp[z]; //复制 
        }
    }
}
signed main()
{
    cin>>a;
    GetSark();
    for(int i=a.size();i>=1;i--) //注意，最后有空串 
    {
    	sa[i]++;
    	rk[i]=rk[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=a.size();i++)
    {
		cout<<sa[i]<<' '<<rk[i]<<endl;
	}
} 

应用

在字符串 \(S\) 中找字符串 \(T\)

二分排名即可

bool find(string S,string T)
{
    int l=0,r=S.size(),ans;
    while(l<=r)
    {
    	int mid=r+l>>1;
        if(S.compare(sa[mid],T.size(),T)==-1)
        {
            l=mid+1;
        }
        else
        {
        	ans=mid;
            r=mid-1;
        }
    }
    return S.compare(sa[ans],T.size(),T)==0;
}

LCP

LCP即最长公共前缀

SA排完序后，有：

1. \(lcp(i,j)=\min(lcp(i,k),lcp(k,j))(1 \le i \le k \le j)\)
2. \(lcp(i,j)=\min(lcp(k,k-1))(1 \le i < k \le j)\)

height

后缀数组的另一应用

\(height_i\) 表示 \(lcp(sa_i,sa_{i-1})\)，即排名相邻的两个后缀的最长公共前缀的长度。求 \(lcp(i,j)\) 直接RMQ即可。

对于 \(i>1\) 且 \(RK_i>1\)，一定有 \(h_i≥h_{i-1}-1\)

则 \(O(n)\) 扫一扫就可以了

void get_height()
{
    int k=0;
    for(int i=1;i<=a.size();i++)
    {
        if(k)
        {
            k--;
        }
		int j=sa[rk[i]-1];
        while(a[i+k]==a[j+k]) k++;
        height[rk[i]]=k;
    }
}