生成函数学习笔记

概念

序列的母函数（生成函数）是一种形式幂级数。其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息，使用母函数解决问题。

如：序列 $a$ 的生成函数为 $G(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{f}_i(x)$。其中 $f_i(x)$ 是无实际意义的，具体取值看题目要求。但有一些一般取值。

一般生成函数

令 $f_k(x)=x^k$，我们得到了一般形式的生成函数。

例题1：

有 $n$ 种物品，第 $i$ 种物品价值 $v_i$ 有 $nu{m}_i$ 个，问有多少种方案可以选若干物品价值和为 $k$。

使用一般生成函数解决。对每个物品构造母函数。第 $i$ 个物品的母函数 $G(i)=1+x_{v_i}+x_{2v_i}+\cdots +x_{nu{m}_i{v}_i}$。$x^k$ 表示这一种物品选了总价值为 $k$ 的东西，用加法原理分离。相乘得到 $\prod _{i=1}^{n}G(i)$。最终 $x^k$ 的系数即为答案。

例题2：

有 $n$ 种物品，第 $i$ 种物品价值 $v_i$ 有 $nu{m}_i$ 个，问可以组合出多少种不同的价值。

使用一般生成函数解决。同上，最终项数即为答案。

蠢货板子

懒了。

特殊生成函数

叉义叉的博客就给出了一种：

$f_i(x)=\frac{x^k}{k!}$。

对此类生成函数求导有：$G(x)=G^{\prime }(x)$