拉格朗日插值学习笔记

拉格朗日插值学习笔记

概念

拉格朗日插值用于拟合一个函数。可以通过已知函数中的点拟合出函数。若为 $n$ 次函数，则需要多于 $n+1$ 个点。

做法

考虑构造 $n+1$ 个函数，第 $i$ 个函数 $f_i$ 对应点 $i$ 满足 $f_i(X_i)=Y_i$ 且对于其他的点 $j(i\ne j)$ 满足 $f_i(X_j)=0$。显然最后结果就为 $\sum _{i=1}^{n+1}{f}_i$。

满足后者，我们只需要让函数 $f_i$ 形如 $\prod _{j=1}^{n+1}(x-X_j)(i\ne j)$ 即可。考虑满足后者。

因为 $0$ 的倍数为 $0$，所以给函数加系数不影响。当前函数 $f_i$ 取 $X_i$ 时为 $\prod _{j=1}^{n+1}(X_i-X_j)(i\ne j)$ 则让当前值变为 $Y_i$ 可以乘 $\frac{Y_i}{\prod _{j=1}^{n+1}(X_i-X_j)(i\ne j)}$。带入原函数则为

$$f_i(x)=\prod _{j=1,i\ne j}^{n+1}(x-X_j)\ast \frac{Y_i}{\prod _{j=1,i\ne j}^{n+1}(X_i-X_j)}$$

一般写成

$$f_i(x)=Y_i\ast \prod _{j=1,i\ne j}^{n+1}\frac{(x-X_j)}{(X_i-X_j)}$$

则最终函数为

$$F(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$$

$$F(x)=\sum _{i=1}^n{Y}_i\ast \prod _{j=1,i\ne j}^{n+1}\frac{(x-X_j)}{(X_i-X_j)}$$

代码（模板拉格朗日插值）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#define mod 998244353
#define int long long
using namespace std;
int n,k;
int x[100001],y[100001],ans;
int pow(int a,int b)
{
	int re=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			re*=a;
			re%=mod;
		}
		a*=a;
		a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return re;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
		x[i]%=mod;
		y[i]%=mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int mul=1,mul2=1;
		for(int z=1;z<=n;z++)
		{
			if(i==z) continue;
			mul*=(k-x[z])%mod;
			mul2*=(x[i]-x[z])%mod;
			mul%=mod;
			mul2%=mod;
		}
		ans+=mul*pow(mul2,mod-2)%mod*y[i]%mod;
		ans%=mod;
	}
	printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
}