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拉格朗日插值学习笔记

概念

拉格朗日插值用于拟合一个函数。可以通过已知函数中的点拟合出函数。若为 n 次函数,则需要多于 n+1 个点。

做法

考虑构造 n+1 个函数,第 i 个函数 fi 对应点 i 满足 fi(Xi)=Yi 且对于其他的点 j(ij) 满足 fi(Xj)=0。显然最后结果就为 i=1n+1fi

满足后者,我们只需要让函数 fi 形如 j=1n+1(xXj)(ij) 即可。考虑满足后者。

因为 0 的倍数为 0,所以给函数加系数不影响。当前函数 fiXi 时为 j=1n+1(XiXj)(ij) 则让当前值变为 Yi 可以乘 Yij=1n+1(XiXj)(ij)。带入原函数则为

fi(x)=j=1,ijn+1(xXj)Yij=1,ijn+1(XiXj)

一般写成

fi(x)=Yij=1,ijn+1(xXj)(XiXj)

则最终函数为

F(x)=i=1nfi(x)

F(x)=i=1nYij=1,ijn+1(xXj)(XiXj)

代码(模板拉格朗日插值)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#define mod 998244353
#define int long long
using namespace std;
int n,k;
int x[100001],y[100001],ans;
int pow(int a,int b)
{
	int re=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			re*=a;
			re%=mod;
		}
		a*=a;
		a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return re;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
		x[i]%=mod;
		y[i]%=mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int mul=1,mul2=1;
		for(int z=1;z<=n;z++)
		{
			if(i==z) continue;
			mul*=(k-x[z])%mod;
			mul2*=(x[i]-x[z])%mod;
			mul%=mod;
			mul2%=mod;
		}
		ans+=mul*pow(mul2,mod-2)%mod*y[i]%mod;
		ans%=mod;
	}
	printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
}
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