学习笔记：矩阵快速幂

1.矩阵乘法

设矩阵有 $H$ 行，$L$ 列，则两个矩阵 $MatA,MatB$ 进行乘法，需要满足 $MatA.L=MatB.H$。则结果矩阵 $Mat{R}_{i,j}=\sum _{z=1}^{n}Mat{A}_{i,z}\ast Mat{B}_{z,j}$。

性质： 结合律，但不满足交换律。

mat operator *(mat a,mat b)
{
	mat c;
	memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int z=1;z<=n;z++)
			{
				c.mat[i][z]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][z]%mod;
				c.mat[i][z]%=mod;
			}
		}
	}
	return c;
}

2.矩阵快速幂

由于结合律，我们可以使用类似一般快速幂的方法快速计算 $Ma{t}^k$。

值得注意的是，初始矩阵要满足 $Mat{R}_{i,i}=1$。

mat operator ^(mat a,int b)
{
	mat c;
	memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		c.mat[i][i]=1;
	}
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			c=c*a;
		}
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return c;
}

3.用处

用于加速递推。下面是斐波那契数列的推导：

$$f_{i+1}=f_i+f_{i-1}$$

$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_i\end{array}\right]\ast MatDT=\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i+1}\end{array}\right]$$

$$MatDT=\left[\begin{array}{c}11\\ 10\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_i\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}11\\ 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_i\ast 1+f_{i-1}\ast 1\\ f_i\ast 1+f_{i-1}\ast 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i+1}\end{array}\right]$$