1.矩阵乘法
设矩阵有 \(H\) 行，\(L\) 列，则两个矩阵 \(MatA,MatB\) 进行乘法，需要满足 \(MatA.L=MatB.H\)。则结果矩阵 \(MatR_{i,j}=\sum\limits^{n}_{z=1}MatA_{i,z}*MatB_{z,j}\)。
性质： 结合律，但不满足交换律。
mat operator *(mat a,mat b)
{
mat c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int z=1;z<=n;z++)
{
c.mat[i][z]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][z]%mod;
c.mat[i][z]%=mod;
}
}
}
return c;
}
2.矩阵快速幂
由于结合律，我们可以使用类似一般快速幂的方法快速计算 \(Mat^k\)。
值得注意的是，初始矩阵要满足 \(MatR_{i,i}=1\)。
mat operator ^(mat a,int b)
{
mat c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
c.mat[i][i]=1;
}
while(b)
{
if(b&1)
{
c=c*a;
}
a=a*a;
b>>=1;
}
return c;
}
3.用处
用于加速递推。下面是斐波那契数列的推导：
\[f_{i+1}=f_i+f_{i-1}
\]
\[\begin{bmatrix}f_{i-1}\\f_i\end{bmatrix}*MatDT=\begin{bmatrix}f_{i}\\f_{i+1}\end{bmatrix}
\]
\[MatDT=\begin{bmatrix}1\ 1\\1\ 0\end{bmatrix}
\]
\[\begin{bmatrix}f_{i-1}\\f_i\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1\ 1\\1\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i}*1+f_{i-1}*1\\f_{i}*1+f_{i-1}*0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{i}\\f_{i+1}\end{bmatrix}
\]
