FFT&NTT学习笔记

概念

多项式乘法时，我们发现暴力乘十分缓慢，但是点值乘十分快速。考虑求 $A$ 和 $B$ 的卷积。

一个 $n$ 次多项式可以被 $n+1$ 个点确定。

设多项式 $A(x)$ 的系数为 $(a_0,a_1,\cdots ,a_n)$

对其奇偶分类得 $A(x)=\sum a_{2i}\ast x^{2i}+\sum a_{2i+1}\ast x^{2i+1}$

提取 $n$ 得 $A(x)=\sum a_{2i}\ast x^{2i}+x\ast \sum a_{2i+1}\ast x^{2i}$

化简得 $A(x)=\sum a_{2i}\ast (x^2{)}^i+x\ast \sum a_{2i+1}\ast (x^2{)}^i$

设 $(\frac{n}{2}-1)$ 次多项式 $A_0=\sum a_{2i}\ast x^{2i},A_1=\sum a_{2i+1}\ast x^{2i}$

则 $A(x)=A_0(x^2)+x\ast A_1(x^2)$

我们发现可以递归

但是时间复杂度不对

然后是一些高深件

复数

定义 $i^2=-1$

则所有形如 $z=a+b\ast i$ 的数 $z$ 组成的集合为复数集，记为 $C$。而 $a$ 称为 $z$ 的实部， $b$ 为虚部。

复平面

类似坐标系，纵虚横实。复数 $z$ 对应从原点指向 $(a,b)$ 的向量。幅角为实轴横方向与向量的夹角，记为 $\theta$。

加法：与向量加法一样

乘法：复数相乘，模长相乘，幅角相加。$(a+bi)\ast (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$

单位根

在复平面上，以原点为圆心，$1$ 为半径作圆，所得的圆叫单位圆。以圆点为起点，圆的 $n$ 等分点为终点，做 $n$ 个向量，设幅角为正且最小的向量对应的复数为 ${\omega }_n$，称为 $n$ 次单位根。剩余 $n-1$ 个点则为 ${\omega }_n^2,{\omega }_n^3,{\omega }_n^4,\cdots$。

单位根的幅角为周角的 ${\displaystyle \frac{1}{n}}$。

欧拉公式有：$w_n^k=\cos k\frac{2\pi }{n}+i\sin k\frac{2\pi }{n}$

性质 $1:$ ${\omega }_n^k={\omega }_{2n}^{2k}$

性质 $2:$ ${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k$

性质 $3:$ $w_n^n=1$

图上自证不难

FFT

承接高深件

高能推柿子

$A(x)=A_0(x^2)+x\ast A_1(x^2)$

带入 $x=w_n^k(k<\frac{1}{2}n)$ 得

$$A(w_n^k)=A_0(w_n^{2k})+w_n^k\ast A_1(w_n^{2k})$$

带入 $x=w_n^{k+\frac{n}{2}}(k<\frac{1}{2}n)$ 得

$$A(w_n^{k+\frac{n}{2}})=A_0(w_n^{2k+n})+w_n^{k+\frac{n}{2}}\ast A_1(w_n^{2k+n})$$

$$A(w_n^k)=A_0(w_{\frac{n}{2}}^k)+w_n^k\ast A_1(w_{\frac{n}{2}}^k)$$

$$A(w_n^k)=A_0(w_n^{2k})-w_n^k\ast A_1(w_n^{2k})$$

不难发现，两式的值可以互相转换，且两室分别处理了一半区间。递归处理，复杂度 $O(n\log n)$。

IFFT

函数转点并相乘后，需要转化回系数。此时使用傅里叶逆变换。

拉差

拉差不行，还是要推柿子。

设向量 $c_1,c_2,\cdots c_{n-1}$ 满足 $c_k=\sum _{j=1}^n{y}_j(w_n^{-k}{)}^j$

推柿子懒了，多项式早日消失

最终

$c_k=n\ast a_k$

$a_k=\frac{c_k}{n}$

代码

递归实现即可

使用STL：complex实现复数

但是但是，递归常数很大。

改成迭代就可以了。

尻尻板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<complex>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
double pi=acos(-1);
int tax[5000001];
void Rev(int n)
{
	int d=n>>1;
	int len=-1;
	tax[++len]=0;
	tax[++len]=d;
	for(int i=2;i<=n;i<<=1)
	{
		d>>=1;
		for(int p=0;p<i;p++)
		{
			tax[++len]=tax[p]|d;
		}
	}
}
void FFT(complex<double> *A,int N)
{
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		if(tax[i]>i)
		{
			swap(A[i],A[tax[i]]);
		} 
	}
	for(int len=2,M=1;len<=N;M=len,len<<=1)
	{
		complex<double> W(cos(pi/M),sin(pi/M));
		complex<double> w(1.0,0.0);
		for(int l=0,r=len-1;r<=N;l+=len,r+=len)
		{
			complex<double> w0=w;
			for(int p=l;p<l+M;p++)
			{
				complex<double> x=A[p]+w0*A[p+M];
				complex<double> y=A[p]-w0*A[p+M];
				A[p]=x;
				A[p+M]=y;
				w0*=W;
			}
		}
	}
}
void IFFT(complex<double> *A,int N)
{
	FFT(A,N);
	reverse(A+1,A+N);
}
int n,m;
complex<double> F[5000001],G[5000001];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0,_;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&_);
		F[i]=_;
	}
	for(int i=0,_;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&_);
		G[i]=_;
	}
	int p2=1;
	while(p2<=m+n) p2<<=1;
	Rev(p2);
	FFT(F,p2);
	FFT(G,p2);
	for(int i=0;i<p2;i++)
	{
		F[i]*=G[i];
	}
	IFFT(F,p2);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
	{
		printf("%d ",int(F[i].real()/p2+0.5));
	}
}

NTT板子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<complex>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
double pi=acos(-1);
int tax[5000001];
int n,m;
void Rev(int pn)
{
	for(int i=0;i<pn;i++)
	{
		tax[i]=tax[i>>1]>>1|((i&1)<<(max((int)ceil(log2(n+m)),1ll)-1));
	}
}
long long poww(int a,int b)
{
	int re=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			re*=a;
			re%=mod;
		}
		a*=a;
		a%=mod;
		b>>=1;
	}
	return re;
}
void NTT(long long *a,int n,int type) //type:1正0反 
{
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(i<tax[i])
        {
            swap(a[i],a[tax[i]]);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        long long gn=poww(3,(mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            long long g0=1;
            for(int k=0;k<i;++k,g0=g0*gn%mod)
            {
                long long x=a[j+k],y=g0*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;
                a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(type!=1)
    {
		int nn=poww(n,mod-2);
		reverse(a+1,a+n);
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			a[i]=1ll*a[i]*nn%mod;
		}
	}
}
long long F[5000001],G[5000001];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=0,_;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&_);
		F[i]=_;
	}
	for(int i=0,_;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld",&_);
		G[i]=_;
	}
	int p2=1;
	while(p2<=m+n) p2<<=1;
	Rev(p2);
	NTT(F,p2,1);
	NTT(G,p2,1);
	for(int i=0;i<p2;i++)
	{
		F[i]*=G[i];
	}
	NTT(F,p2,0);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
	{
		printf("%lld ",F[i]);
	}
}