[数据结构]堆排序

算法思想

　　堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是：在排序过程中，将L[1…n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或者最小）的元素。
　　堆的定义如下：n个关键字序列L[1…n]称为堆，当且仅当该序列满足：
　　①L（i）≤L（2i）且L（i）≤L（2i）或 ②L（i）≥L（2i）且L（i）≥L（2i+1）
　　满足第一种情况的堆称为小根堆，满足第二种情况的称为大根堆。显然，在大根堆中，最大元素存放在根结点中，且对其中任意一个非根结点，它的值小于或等于其双亲结点值。小根堆的定义刚好相反，根结点是最小元素。
　　
　　堆排序的关键是构造初始堆，对初始序列建堆，就是一个反复筛选的过程。n个结点的完全二叉树，最后一个结点是第[n/2]个结点的孩子。对第[n/2]哥结点为根的子树筛选（对于大根堆：若根结点的关键字小玉左右子女中关键字较大者，则交换），使该子树成为堆。之后向前依次对各结点（[n/2]-1~1）为根的子树进行筛选，看该结点值是否大于其左右子结点的值，若不是，将左右子结点中较大值与其交换，交换后可能会破坏下一级的堆，于是继续采用上述方法构造下一级的堆，直到以该结点为根的子树构成堆位置。反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根结点。
　　

算法代码

void BuildMaxHeap(Elemtype A[],int len){
    for(int i=len/2;i>0;i--)//从i=[n/2]~1，反复调整堆
        AdjustDown(A,i,len);
}

void AdjustDown(Elemtype A[],int k,int len){
//函数AdjustDown将元素k向下进行调整
    A[0]=A[k];//A[0]暂存元素
    for(i=2*k;i<=len;i*=2){//沿key较大的子结点向下筛选
        if(i<len&&A[i]<A[i+1])
            i++;//取key较大的子结点的下标
            if(A[0]>=A[i]) reak;//筛选结束
            else{
                A[k]=A[i];//将A[i]调整到双亲结点上
                k=i;//修改k的值，以便继续向下筛选
            }
    }
    A[k]=A[0];//被筛选结点的值放入最终位置
}

　　向下调整的时间和树高有关，为O（h），建堆过程中每次向下调整时，大部分结点的高度都较小。因此，可以证明在元素个数为n的序列上建堆，其时间复杂度为O（n），这说明可以在线性时间内，将一个无序数组建成一个大根堆。
　　应用堆这种数据结构进行排序的思路很简单，首先将存放在L[1…n]中的n个元素建成初始堆，由于堆本身的特点（以大根堆为例），堆顶元素就是最大值。输出堆顶元素后，通常将堆底元素送入堆顶，此时根结点已不满足大顶堆的性质，堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大顶堆的性质，再输出堆顶元素。如此重复，直到堆中仅剩下一个元素为止。
　　下面是堆排序算法：
　　

void HeapSort(Elemtype A[],int len){
    BuildMaxHeap(A,len);//初始建堆
    for(i=len;i>1;i--){//n-1趟的交换和建堆过程
        swap(A[i],A[1]);//输出堆顶元素（和堆底元素交换）
        AdjustDown(A,1,i-1);//整理，把剩余的i-1个元素整理成堆
    }
}

　　同时，堆也支持删除和插入操作。由于堆顶元素或为最大值或最小值，删除堆顶元素时，先将堆的最后一个元素与堆顶元素交换。由于此时堆的性质被破坏，将堆顶元素向下调整操作。对堆进行插入操作时，先将新结点放在堆的末端，再对这个新结点执行向上调整操作。
　　
　　下面是向上调整堆的算法：
　　

void AdjustUp(Elemtype A[],int k){
//参数k为向上调整的结点，也为堆的元素个数
    A[0]=A[k];
    int i=k/2;//若结点值大于双亲结点，则将双亲结点向下调，并继续向上比较
    while(i>0&&A[i]<A[0]){
        A[k]=A[i];//双亲结点下调
        k=i;
        i=k/2;//继续向上比较
    }
    A[k]=A[0];//复制到最终位置
}

算法复杂度

　　空间复杂度：仅使用了常数个辅助单元，所以空间复杂度为O（1）。
　　时间复杂度：建堆时间为O（n），之后有n-1次向下调整的操作，每次调整的时间复杂度为O（log₂n）。所以时间复杂度为O（nlog₂n）。
　　稳定性：在进行筛选时，有可能把后面相同关键字的元素调整到前面，所以堆排序算法是一种不稳定的排序方法。例如，表L={1，2，2}，构造初始堆时，可能将2交换到堆顶，此时L=｛2，1，2｝，最终排序序列为L=｛1，2，2｝，显然，2和2的相对次序已经发生了变化。