[剑指Offer]剪绳子

题目

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给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪为m段（m,n都是整数，并且n>1,m>1），每段绳子的长度为k[0],k[1],k[2]…k[m]。请问k[0]×k[1]×…..k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪为2，3，3三段，最大乘积为18。

思路

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我们利用动态规划的思路解决这个问题，想象一下，我们剪第一刀的时候，可以剪出1,2,3…n-1的长度，因此最大长度maxResult=max(f(i)×f(n-i))，这是一个自上而下的递推公式，由于会有很多重复的不必要的计算，我们需要调整为自底向上的地推方式，比如我们先得到f(2),f(3)，再得到f(4),f(5)，一直得到f(n)。

例如：f(1)=0、f(2)=1×1=1、f(3)=1×2=2，f(3)=1×2=2<br>
而f(4)= ①1×3 ②2×2 明显f(4)=4
f(5)=①1×4 ②2×3 显然f(5)=6
f(6)=①1×5 ②2×4 ③3×3 显然 f(6)=9
这样一路往上计算，最后能求出f(n)的结果。


代码

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int max(int length)
{
    if(length<2)
        return 0;
    if(length==2)
        return 1;
    if(length==3)
        return 2;
    vector<int> products={0,1,2,3};//f(0)=0,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2
    int max=0;//当前长度下的最大乘积
    for(int i=4;i<=length;i++)
    {
        max=0;
        for(int j=1;j<=i/2;j++)
        {
            int product=products[j]*products[j-1];
            if(max<product)
                max=product;
            products[i]=max;
        }
    }
    max=products[length];
    return max;
}

复杂度

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时间复杂度为O（n²），空间复杂度为O（n）