多项式求逆

多项式求逆

多项式求逆指的是给定一个多项式\(F(x)\)，求出一个多项式\(G(x)\)满足

\[F(x)*G(x)\equiv1\pmod {x^n} \]

它是怎么做的？

我们称一个多项式的“度”为其最高次项系数\(+1\)

首先，我们知道当\(n=1\)的时候，显然\(G(x)\)即为\(F(x)\)的常数项之逆元

我们将原式写成模\(x^{\lceil\frac n 2\rceil}\)意义下的形式：

\[F(x)*G(x)\equiv1\pmod {x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \]

假设我们已经求出\(B(x)\)满足

\[F(x)*B(x)\equiv1\pmod {x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \]

将两个式子相减

\[G(x)-B(x)\equiv0\pmod{x^{\lceil\frac n 2\rceil}} \]

平方一下

\[G^2(x)-2G(x)B(x)+B^2(x)\equiv0\pmod{x^n} \]

两边乘上\(F(x)\)

\[G(x)-2B(x)+F(x)B^2(x)\equiv0\pmod{x^n} \]

（这里由于\(F(x)*G(x)\equiv1\pmod{x^n}\)，消去了一些部分）

移项整理得

\[G(x)\equiv(2-F(x)B(x))B(x)\pmod{x^n} \]

多项式乘法可以用FFT/NTT加速

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define inv(x) (fastpow((x),mod-2))
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>void read(T &t)
{
	t=0;int f=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

const ll mod=998244353,gg=3,ig=332748118;
const int maxn=100000+5;
int n;
ll a[maxn<<2],b[maxn<<2];

ll fastpow(ll a,ll b)
{
	ll re=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			re=re*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return re;
}

int len;
int r[maxn<<2];
void NTT(ll *f,int type)
{
	for(register int i=0;i<len;++i)
		if(i<r[i])
			swap(f[i],f[r[i]]);
	for(register int p=2;p<=len;p<<=1)
	{
		int length=p>>1;
		ll unr=fastpow(type?gg:ig,(mod-1)/p);
		for(register int l=0;l<len;l+=p)
		{
			ll w=1;
			for(register int i=l;i<l+length;++i,w=w*unr%mod)
			{
				ll tt=f[i+length]*w%mod;
				f[i+length]=(f[i]-tt+mod)%mod;
				f[i]=(f[i]+tt)%mod;
			}
		}
	}
	if(!type)
	{
		ll ilen=inv(len);
		for(register int i=0;i<len;++i)
			f[i]=f[i]*ilen%mod;
	}
}

ll c[maxn<<2];
void getinv(int deg,ll *a,ll *b)
{
	if(deg==1)
	{
		b[0]=inv(a[0]);
		return;
	}
	getinv((deg+1)>>1,a,b);
	for(len=1;len<=(deg<<1);len<<=1);
	for(register int i=0;i<len;++i)
	{
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);
		c[i]=(i<deg?a[i]:0);
	}
	NTT(c,1),NTT(b,1);
	for(register int i=0;i<len;++i)
		b[i]=(2ll-c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
	NTT(b,0);
	fill(b+deg,b+len,0);//重要，因为是在模 x^deg 意义下 
}

int main()
{
	read(n);
	for(register int i=0;i<n;++i)read(a[i]);
	getinv(n,a,b);
	for(register int i=0;i<n;++i)
		printf("%lld ",b[i]);
	return 0;
}