BSGS

BSGS

BSGS可以用于解决一类离散对数问题，一般形如

\[A^x\equiv B\pmod C \]

其中\(C\)为质数

它是怎么做的？

我们令\(m=\lceil\sqrt{C}\rceil\)，那么\(x=im+j,i\in[0,m-1],j\in[0,m-1]\)

于是原方程转化为

\[A^{im}\times A^j\equiv B\pmod C \]

即

\[A^j\equiv B\times A^{-im}\pmod C \]

我们知道\(gcd(A,C)=1\)，所以\(A\)在模\(C\)意义下存在逆元，\(A^k\)也是

那么我们将所有的\(A^j\)存进哈希表里\((Baby\space Step)\)，然后枚举\(i(Giant\space Step)\)，如果找到一个\(i\)满足上式，那么我们就找到了一个解\(x=i\times m+j\)

如果\(i\)在\([0,m-1]\)内没有解，那么原方程无解
因为根据欧拉定理，\(A^{\varphi(C)}=A^{C-1}\equiv1\pmod C,A^C\equiv A\pmod C\)，出现循环节
所以原方程如果有解，最小的解一定在\([0,C-1]\)范围内，否则无解

时间复杂度\(O(\sqrt{C})\)

但是我太菜了，不会写哈希表，只会用\(map\)，时间复杂度到了\(O(\sqrt C\log\sqrt C)\)，才能勉强维持一下生活这样子

BSGS是一种典型的空间换时间的思想

例题

「Luogu3846」[TJOI2007]可爱的质数

板题，直接上BSGS就可以了

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#define mp(x,y) (make_pair((x),(y)))
#define inv(x) (fastpow((x),c-2))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;

template <typename T>void read(T &t)
{
	t=0;int f=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

ll a,b,c;
ll m;
map<ll,ll> rec;

ll fastpow(ll a,ll b)
{
	ll re=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			re=re*base%c;
		base=base*base%c;
		b>>=1;
	}
	return re;
}
int main()
{
	read(c),read(a),read(b);
	rec.clear();
	m=ceil(sqrt(c));
	for(register ll i=0,po=1;i<m;++i,po=po*a%c)
		rec.insert(mp(po,i));
	ll iam=inv(fastpow(a,m));
	for(register ll i=0,tmp=1;i<m;++i,tmp=tmp*iam%c)
		if(rec.find(b*tmp%c)!=rec.end())
		{
			printf("%lld\n",m*i+rec[b*tmp%c]);
			return;
		}
	printf("no solution\n");
	return 0;
}