斯特林数 笔记
斯特林数 笔记
这篇文主要记录一些lizbaka在学习斯特林数时遇到的一些比较关键的点
此文条理较为混乱，不甚完善，主要以作为笔记为目的，仅供参考
第二类斯特林数
第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)个非空无标号集合的方案数
其递推方程为：
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\times\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}
\]
\[\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1
\]
其意义为，最后一个元素，单独组成一个集合，或加入已有的任意一个集合
第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)又称为“\(n\)子集\(k\)”
第二类斯特林数的展开式为：
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(k-i)^n
\]
考虑盒子有标号，且允许有空盒的情况
那么有\(i\)个盒子为空的方案数即为\(\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(k-i)^n\)
容斥一下，再除以一个阶乘变成无标号的情况即可
进一步整理，式子化为
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\times \frac{(k-i)^n}{(k-i)!}
\]
这是一个卷积形式的式子，可以利用FFT/NTT求得
第一类斯特林数
第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)个圆排列的方案数
其递推方程为：
\[\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\times\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}
\]
\[\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=1
\]
其意义为，最后一个元素，单独组成一个圆排列，或者插入到已有的任意一个元素的左侧
第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)又称为“\(n\)轮换\(k\)”
每一个排列都与一个轮换的集合等价(《具体数学》\(P217-P218\))
于是有:
\[\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=n!(n\ge0)
\]
斯特林数与常幂/下降幂/上升幂
记下降幂：
\[x^{\underline n}=x\times(x-1)\times(x-2)\cdots\times(x-n+1)
\]
记上升幂：
\[x^{\overline n}=x\times(x+1)\times(x+2)\cdots\times(x+n+1)
\]
这常常出现在组合计数中
幂之间的转换公式(《具体数学》\(P219-P220\))：
\[x^{\overline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k
\]
\[x^{\underline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k
\]
\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline k}
\]
事实上，我们可以建立常幂与组合数之间的关系：
\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\times k!\times \begin{pmatrix}x\\k\end{pmatrix}
\]
从而转化到组合数进行求解
