最大权闭合子图模型
最大权闭合子图模型
写了几道这类题，觉得很有意思，有必要总结一下
什么是闭合子图？
对于一个有向无环图，它的一个闭合子图满足对于其中的任意一个点，从它出发能够到达的所有点都和它在同一个闭合子图中
比如下面这个图
它的所有闭合子图集合为：
\(\emptyset,\{3\},\{5\},\{4,5\},\{3,4,5\},\{2,3,4,5\},\{1,2,3,4,5\}\)
其实就是走不到集合外的点，“闭合”的子图
——GoldenPotato
什么是最大权闭合子图？
对于一个点带正/负权的有向无环图，其最大权闭合子图在所有的闭合子图中，点权和最大
怎样用到题目中？
建立超级源点\(s\)和超级汇点\(t\)，从\(s\)向所有点权为正的点连边，边权为点权;从所有点权为负的点向\(t\)连边，边权为点权的相反数;原图中原本就存在的边之边权设为正无穷
那么最大权闭合子图的权值等于所有正权点之和减去最小割
证明：
以下引自https://www.cnblogs.com/TreeDream/p/5942354.html
字母比较多，请注意辨别和理解
首先我们要证明两个引理：
1.最小割一定是简单割
简单割指得是：割\((S,T)\)中每一条割边都与\(s\)或者\(t\)关联，这样的割叫做简单割。
因为在图中将所有与\(s\)相连的点放入割集就可以得到一个割，且这个割不为正无穷。而最小割一定小于等于这个割，所以最小割一定不包含无穷大的边。因此最小割一定一个简单割。
2.简单割一定和一个闭合子图对应
闭合子图\(V\)和源点\(s\)构成\(S\)集，其余点和汇点\(t\)构成\(T\)集。
首先证明闭合子图是简单割：若闭合子图对应的割\((S,T)\)不是简单割，则存在一条边\((u,v),u∈S,v∈T\)，且c(u,v)=\(∞\)。说明\(u\)的后续节点\(v\)不在\(S\)中，产生矛盾。
接着证明简单割是闭合子图：对于\(V\)中任意一个点\(u\)，\(u∈S\)。\(u\)的任意一条出边\(c(u,v)=∞\)，不会在简单割的割边集中，因此\(v\)不属于\(T\)，\(v∈S\)。所以\(V\)的所有点均在\(S\)中，因此\(S-s\)是闭合子图。
由上面两个引理可以知道，最小割也对应了一个闭合子图，接下来证明最小割就是最大权的闭合子图。
首先有割的容量\(C(S,T)=T\)中所有正权点的权值之和\(+S\)中所有负权点的权值绝对值之和。
闭合子图的权值\(W=S\)中所有正权点的权值之和\(-S\)中所有负权点的权值绝对值之和。
则有\(C(S,T)+W=T\)中所有正权点的权值之和\(+S\)中所有正权点的权值之和=所有正权点的权值之和。
所以\(W=\)所有正权点的权值之和\(-C(S,T)\)
由于所有正权点的权值之和是一个定值，那么割的容量越小，\(W\)也就越大。因此当\(C(S,T)\)取最小割时，\(W\)也就达到了最大权。
形象理解
emmmm这个证明似乎有点看不懂
我们可以用 「Luogu2762」太空飞行计划问题煮个梨子
W教授YY他可以白嫖所有实验的收益（正权点权值之和）
但是他很快意识到他是要交钱的（选择某些正权点时必须也要选择负权点）
于是他画了个图来算花费（网络流图）
他必须舍弃一些实验的收益（割掉源与这个实验的连边）
或者保留这个实验并且吃掉所需仪器的而收费（割掉所需仪器与汇的连边）
他希望舍弃的收益和仪器的花费最少（最小割）
最终所有的收益减去这些舍弃的收益和仪器的花费即是W教授能赚到的最多钱
求方案
最大权可以通过跑最大流求得，那……如何求最大权闭合子图的点集呢？
证明中提到\(S-s\)是一个闭合子图，那么我们只需要跑完最小割之后，找到所有仍与\(s\)相连的点即可
即最后一次增广（失败）找到阻塞流时，所有被分层了的点
