「Luogu3231」 [HNOI2013]消毒

「Luogu3231」 [HNOI2013]消毒

problem

题目描述

最近在生物实验室工作的小T遇到了大麻烦。 由于实验室最近升级的缘故，他的分格实验皿是一个长方体,其尺寸为a*b*c，a、b、c 均为正整数。为了实验的方便，它被划分为a*b*c个单位立方体区域，每个单位立方体尺寸为1*1*1。用(i,j,k)标识一个单位立方体，1 <=i<=a，1<=j<=b，1<=k<=c。这个实验皿已经很久没有人用了，现在，小T被导师要求将其中一些单位立方体区域进行消毒操作（每个区域可以被重复消毒）。

而由于严格的实验要求，他被要求使用一种特定 的F试剂来进行消毒。 这种F试剂特别奇怪，每次对尺寸为x*y*z的长方体区域（它由x*y*z个单位立方体组 成）进行消毒时，只需要使用min{x,y,z}单位的F试剂。F试剂的价格不菲，这可难倒了小T。

现在请你告诉他，最少要用多少单位的F试剂。(注：min{x,y,z}表示x、y、z中的最小者。)

输入格式：

第一行是一个正整数D，表示数据组数。接下来是D组数据，每组数据开头是三个数a,b,c表示实验皿的尺寸。接下来会出现a个b 行c列的用空格隔开的01矩阵，0表示对应的单位立方体不要求消毒，1表示对应的单位立方体需要消毒；例如，如果第1个01矩阵的第2行第3列为1，则表示单位立方体(1,2,3)需要被消毒。输入保证满足a*b*c<=5000,T<=3。

输出格式：

仅包含D行，每行一个整数，表示对应实验皿最少要用多少单位的F试剂。

输入输出样例

输入样例#1：

1
4  4 4
1  0 1 1
0  0 1 1
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 1 1
1  0 1 1
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
1  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
0  0 0 0
1  0 0 0

输出样例#1：

3

说明

对于区域(1,1,3)-(2,2,4)和(1,1,1)-(4,4,1)消毒，分别花费2个单位和1个单位的F试剂。

Solution

一次消毒的花费是长宽高中的最小者，那么我们强制每次消毒代价均为1，即每次仅涉及到所有横（竖、纵）坐标相同的方格

我们来思考一下二维平面的情况，每次消毒的代价为长宽中的最小值，策略跟上面一样

如果我们把每个需要消毒的区域当做边，其横、纵坐标是边的端点，那么对于每条边，它的两个端点至少要选中一个

眼熟吗？这就是二分图最小点覆盖

根据König定理，二分图最小点覆盖包含的点数等于二分图最大匹配包含的边数

二维平面上的情况是十分显然的，到了三维就不能直接这么做了

注意到\(a*b*c\le5000;a,b,c\in \mathbb{N^*}\)，所以\(min(a,b,c)\le17\)

于是我们可以把实验皿放倒（使长度最小的维度作为竖直方向上的维度）

先选若干层进行消毒（把若干层上的待消毒方格去掉）

然后一巴掌拍扁实验皿（剩余的待消毒方格映射到二维平面内）

再跑二分图匹配就行了

那……怎么选出提前消毒的若干层呢

搜索啊

时间复杂度\(O(2^{min(a,b,c)}*\frac{a*b*c}{min(a,b,c)})\)

Code

巨丑无比，极度不建议阅读
注意不能用memset清零，分分钟TLE

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define maxabc 5005
#define minabc 25
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>void read(T &t)
{
	t=0;char c=getchar();int f=0;
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

int D;

int a,b,c;
int cnt,ans;
int x[maxabc],y[maxabc],z[maxabc];
int sel[minabc];

struct edge
{
	int u,v,nxt;
}g[maxabc];

int head[maxabc],ecnt;
void eADD(int u,int v)
{
	g[++ecnt].u=u;
	g[ecnt].v=v;
	g[ecnt].nxt=head[u];
	head[u]=ecnt;
}

void Build()
{
	for(register int i=1;i<=ecnt;++i)
		g[i].u=g[i].v=g[i].nxt=0;
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
		head[i]=0;
	ecnt=0;
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
	{
		if(sel[z[i]])
			continue;
		eADD(x[i],y[i]);
	}
}

int result[maxabc],use[maxabc],sign;
bool Hungary(int u)
{
	for(register int i=head[u];i;i=g[i].nxt)
	{
		int v=g[i].v;
		if(use[v]==sign)
			continue;
		use[v]=sign;
		if(!result[v] || Hungary(result[v]))
		{
			result[v]=u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

int Calc()
{
	for(register int i=1;i<=cnt;++i)
		result[i]=use[i]=0;
	int re=0;
	for(register int i=1;i<=b;++i)
	{
		sign=i;
		re+=Hungary(i); 
	}
	return re;
}

void dfs(int step,int select)
{
	if(step==a+1)
	{
		Build();
		ans=min(ans,select+Calc());
		return;
	}
	sel[step]=1;
	dfs(step+1,select+1);
	sel[step]=0;
	dfs(step+1,select);
}

void Work()
{
	read(a),read(b),read(c);
	cnt=0,ans=0x7f7f7f7f;
	for(register int i=1;i<=a;++i)
		for(register int j=1;j<=b;++j)
			for(register int k=1;k<=c;++k)
			{
				int d;read(d);
				if(d)z[++cnt]=i,x[cnt]=j,y[cnt]=k;
			}
	if(min(a,min(b,c))==b)
	{
		swap(a,b);
		for(register int i=1;i<=cnt;++i)swap(z[i],x[i]);
	}
	else if(min(a,min(b,c))==c)
	{
		swap(a,c);
		for(register int i=1;i<=cnt;++i)swap(z[i],y[i]);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
	read(D);
	while(D--)
		Work();
	return 0;
}