约瑟夫和孙子定理

2*k 个人构成一个环 前k个好人 后k个坏人， 要求以m个报数，前k个杀死的全是坏人。

首先尝试求得这样一个m，满足条件。

k=1的时候， x o   m = 2  则先杀死坏人

k=2的时候， x x  o o  m= 7

如何解决k=2时候情况？

假设首先杀死第3个人 则 m = 4*a+3  

接着杀死第4个人  则 m = 3*b + 1

满足上面两个条件的m如何求？

4*a+3 = 3*b+1    4*a = 3*b-2 = 3*c+1

这涉及到孙子定理， 扩展欧几里德算法， Bézout's identity  等概念

http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_Remainder_Theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_successive_substitution

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse

http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm

http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity

 

因为4*a = 3*c+1   且 4，3互质， (4*1)%3 == 1

所以4的mod运算的逆是 1， 4%3 == 1 , 4*a%3 == 1 所以 a%3 == 1

所以 a = 3*d+1

所以 4a +3 = 4*(3*d+1) +3 = 12d+7

所以m = 7 即可满足条件。

 

上面假设先杀死第3个人，如果先杀死第4个人，则有

m = 4*a + 4 = 4*b (b>=1)

m = 3*c + 3 = 3*d  (d >= 1)

所以 4b = 3d

b%3 == 0 

m = 4*(3e) = 12e 

m最小是 12

 

所以m最优解是 7