[ABC216H] Random Robots

[ABC216H] Random Robots

题意

有 \(k\) 个机器人在数轴上，位置分别是 \(x_1,x_2,\dots,x_k\)，\(x\) 均为整数。

接下来 \(n\) 秒，每秒每个机器人有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率不动，\(\dfrac{1}{2}\) 的概率往坐标轴正方向移动一个单位距离，机器人的移动同时进行。

求机器人互相不碰撞的概率，对 \(998244353\) 取模。

\(k \le 10,n,x \le 1000\)。

思路

相当于求不碰撞的方案数，最后除以 \(2^{nk}\)。

设终点位置是 \(y_i\)。

加一维时间维，即 \((x,y)\) 可以走到 \((x+1,y)\)（不走）或者 \((x+1,y+1)\)（向右走一步），不碰撞即路径没有公共点。

容易想到 LGV 引理。但是不能乱套哦。

假设我们已经确定了 \(\{y_i\}\)。且这是一个升序序列。这是一个分层图。

算每个 \((0,x_i)\) 都走到 \((n,y_i)\) 的方案数是好算的，就是 \(\prod_{i=1}^n \binom{n}{y_i-x_i}\)。

那么他们在中间相交怎么办呢？

经典容斥，要求两条路径不交的方案数，就用至少交 \(0\) 次的方案数 \(-\) 至少交 \(1\) 次的方案数。求至少交一次的方案数，就是交换两条路径的终点，然后求无限制的方案数。

多条路径怎么做呢？就用至少 \(0\) 对路径有交点 \(-\) 至少 \(1\) 对路径有交点 \(+\) 至少 \(2\) 对路径有交点 \(\cdots\)。

即对一个升序序列 \(\{y_i\}\)，答案就是 \(\sum_{p} (-1)^{sgn(p)} \prod_{i=1}^n \omega((0,x_i),(n,y_{p_i}))\)。

其中 \(sgn(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对数。\(\omega((0,x),(n,y))=\binom{n}{y-x}\)。

根据 LGV 引理，可以求个行列式来计算。然而显然我们不能枚举 \(\{y_i\}\)。

注意到数据范围，考虑状压 DP。

设 \(f_{i,s}\) 表示处理到坐标 \(i\)，目前已经有状态为 \(s\) 的起点已经确定了终点，的合法方案数。状态数是 \(O(2^k x)\) 的。

转移就是枚举是否有一个起点选择位置 \(i\) 作为终点（显然合法方案不会有两个起点走到一个位置作为终点）。

枚举哪个起点选择 \(i\) 作为终点，新贡献的逆序对数是好算的，对连乘的贡献也是好算的。即：

\[f_{i,s} \gets f_{i-1,s}(不选)\\ f_{i,s\cup j} \gets (-1)^{cnt} \binom{n}{i-x_j} f_{i-1,s} (选j) \]

其中 \(cnt\) 指新增逆序对个数，即 \(s\) 的低 \(j-1\) 位里面有多少个 \(0\)。

答案就是 \(f_{x,2^k-1}\)。

时间复杂度 \(O(2^k x k)\)。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace pragmatic {
    constexpr int N=15,V=2e3+1,mod=998244353;
    int add(int a,int b) { return a+b>=mod ? a+b-mod : a+b; }
    void _add(int &a,int b) { a=add(a,b); }
    int mul(int a,int b) { return 1ll*a*b%mod; }
    void _mul(int &a,int b) { a=mul(a,b); }
    int ksm(int a,int b=mod-2) {
        int s=1;
        while(b) {
            if(b&1) _mul(s,a);
            _mul(a,a);
            b>>=1;
        }
        return s;
    }
    int jc[V+7],inv[V+7];
    void init() {
        jc[0]=1;
        rep(i,1,V) jc[i]=mul(jc[i-1],i);
        inv[V]=ksm(jc[V]);
        per(i,V-1,0) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    }
    int binom(int n,int m) {
        if(n<m || m<0) return 0;
        return mul(jc[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
    }
    int k,n,x[N];
    int f[V+7][V+7];
    void main() {
        sf("%d%d",&k,&n);
        rep(i,1,k) sf("%d",&x[i]), ++x[i];
        init();
        f[0][0]=1;
        rep(i,1,V) {
            rep(j,0,(1<<k)-1) {
                if(!f[i-1][j]) continue;
                _add(f[i][j],f[i-1][j]);
                int cnt=0;
                rep(p,1,k) {
                    if(!((j>>(p-1))&1)) {
                        int tmp=mul(f[i-1][j],binom(n,i-x[p]));
                        if(tmp) _add(f[i][j^(1<<(p-1))],cnt ? mod-tmp : tmp);
                        cnt^=1;
                    }
                }
            }
        }
        pf("%d\n",mul(f[V][(1<<k)-1],ksm(ksm(2,n*k))));
    }
}
int main() {
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    #endif
    pragmatic :: main();
}