贪心

贪心

不严谨地说，可贪心的问题必须满足，目前的较优状态，之后进行同样的操作，仍然是较优的状态。即状态关于答案优劣的大小关系满足类似不等式的一些计算法则。

邻项交换法

简介

一个函数分别会依次对 \(n\) 个元素进行复合计算，要求对这 \(n\) 个元素进行排序，使得答案最优。排序使选择两个元素，假设只有两个元素的情况下，使用最优的排序方式作为这两个元素的相对顺序。

对于两项 \((a_x,b_x),(a_y,b_y)\)，我们比较谁在前面谁在后面，只需要比较仅有这两项的情况下，谁前谁后是更优的。满足 \(a_i\ge b_i\)。

若 \(x\) 在 \(y\) 前，所需要的血量为 \(\max(a_x,b_x+a_y)\)。

若 \(y\) 在 \(x\) 前，所需要的血量为 \(\max(a_y,b_y+a_x)\)。

我们不妨认为血量是大于 \(\max(a_x,a_y)\) 的。因此我们只需要比较 \(b_x+a_y\) 和 \(b_y+a_x\) 的大小关系，就知道先杀谁会比较好了。

感性证明邻项局部最优是全局最优的充分条件：贪心问题必须满足可贪心性，即如果当前较优的状态，后面进行相同的操作这个状态仍然是较优的。所以局部最优的话，其他地方（包括前后和之间）执行一样的操作，局部最优仍然是最优的。

经验

2-其他算法-贪心-邻项交换法

P1080 [NOIP2012 提高组] 国王游戏 邻项交换法典题。

对于大臣 \(x,y\)，计算 \(val(x,y)<val(y,x)\) 这个不等式成立的条件。

\[\max(\frac{1}{b_x},\frac{a_x}{b_y}) < \max(\frac{1}{b_y},\frac{a_y}{b_x}) \]

因为我们总是有 \(\frac{1}{b_x}<\frac{a_y}{b_x}\) 和 \(\frac{1}{b_y}<\frac{a_x}{b_y}\)，所以直接按照 \(\frac{a_x}{b_y}<\frac{a_y}{b_x}\) 排序就可以了。建议移项再比较。因为要写高精度，所以我不写了。

P2123 皇后游戏 国王游戏的加强版

根据式子，拿到最多奖金的一定是最后一名大臣。由于 \(\max\) 里面有一个 \(c_{i-1}\) 感觉不好贪心。

我们感觉可以把前一个当做第一个人来比较 \(\max(a_x+b_x+b_y,a_x+a_y+b_y)\) 和 \(\max(a_y+b_y+b_x,a_y+a_x+b_x)\)。证明见第一篇题解。由于也要写高精度，就不写了。