SS241128D. 旅行 (tour)

SS241128D. 旅行 (tour)

题意

给你一棵 \(n\) 个点的以 \(1\) 为根的树，每个结点有点权 \(a_i\)。有 \(m\) 次操作。操作分 \(4\) 种。

1. 查询 \(u\) 的点权。
2. 令 \(u,v\) 路径上所有点 \(p\) 的点权 \(a_p \gets ka_p + b\)。
3. 令 \(u\) 的子树所有点 \(p\) 的点权 \(a_p \gets ka_p + b\)。
4. 令距离 \(u\) 不超过 \(d\) 的所有点 \(p\) 的点权 \(a_p \gets ka_p + b\)。

其中 \(d \le 10, n,m \le 10^5\)。

思路

因为有链和子树操作，容易想到重剖。

题解说有这两个操作，限定了只能在 dfs 序上做。

发现 \(d \le 10\)，考虑比较暴力地维护操作 \(4\)。

如果 \(k=1\)，那么操作就具有交换律和结合律，可以分别处理链剖分和邻域操作，邻域操作可以对每个点打 \(tag_{0 \sim 10}\) 表示给 \(u\) 的子树里距离 \(u\) 为 \(0 \sim 10\) 的结点的标记。修改的时候就修改 \(u\) 和它的 \(d\) 层祖先，注意容斥一下，查询的时候就访问它的 \(d\) 层祖先。因为操作满足交换律，使用标记永久化以保证时间复杂度。

时间复杂度 \(O(m (\log^2 n + d))\)，写得丑可能会变成 \(d^2\)。

但是这里的操作虽然满足结合率，不满足交换律。不标记永久化时间复杂度会退化成单次 \(O(n)\)。

我们必须要在 dfs 序上维护这些操作。考虑刚刚的标记其实给一棵子树对应的一段连续的 dfs 序打上对应深度的标记。我们可以在线段树里打这些标记。如何下放标记？直接给两个儿子下放，和线段树下放标记差不多。

时间复杂度 \(O(m(\log^2 nd+\log nd^2))\)。常数小，\(1s\) 内可以跑完。

code

感觉不是很好写啊。

其实还行，参考了 std 的写法。发现我的树剖马蜂属实诡异。原来别人的树剖和我的写法有一些不同，我的树剖写了很多废的东西啊，这就去改板子。

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace humorous {
	#define isdigit(x) (x>='0'&&x<='9')
	#define gc getchar_unlocked
	#define pc putchar_unlocked
	template <typename T>
	void read(T &x) {
		x=0;
		char ch=gc();
		for(;!isdigit(ch);ch=gc());
		for(;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	}
	template <typename T>
	void write(T x,char ch) {
		static int st[40];
		int top=0;
		do {
			st[top++]=x%10;
			x/=10;
		}while(x);
		while(top) pc(st[--top]^48);
		pc(ch);
	}
	constexpr int N=1e5+7,mod=998244353,B=10;
	int add(int a,int b) { return a+b>=mod ? a+b-mod : a+b; }
	void _add(int &a,int b) { a=add(a,b); }
	int mul(int a,int b) { return 1ll*a*b%mod; }
	void _mul(int &a,int b) { a=mul(a,b); }
	int sub,n,m;
	int u,v,a[N],op;
	int k,b,d;
	vector<int> to[N];
	int fa[N],dep[N];
	int cnt;
	int dfn[N],idfn[N],top[N],eddfn[N];
	int siz[N],gson[N];
	void dfs(int u,int f) {
		dep[u]=dep[f]+1;
		fa[u]=f;
		siz[u]=1;
		for(int v:to[u]) if(v^f) {
			dfs(v,u);
			siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[gson[u]]) gson[u]=v;
		}
	}
	void dfs(int u) {
		dfn[u]=++cnt;
		idfn[cnt]=u;
		if(gson[u]) top[gson[u]]=top[u], dfs(gson[u]);
		for(int v:to[u]) if((v^fa[u]) && (v^gson[u])) top[v]=v, dfs(v);
		eddfn[u]=cnt;
	}
	struct pii{ 
		int x,y; 
		pii operator * (pii b) const { return {mul(x,b.x), add(mul(y,b.x),b.y)}; }
	};
	pii tr[N<<2][12];
	int mindep[N<<2];
	void build(int u,int l,int r) {
		rep(i,0,11) tr[u][i].x=1;
		if(l==r) return mindep[u]=dep[idfn[l]], tr[u][0]={0,a[idfn[l]]}, void(0);
		int mid=(l+r)>>1;
		build(u<<1,l,mid), build(u<<1|1,mid+1,r);
		mindep[u]=min(mindep[u<<1],mindep[u<<1|1]);
	}
	void init() {
		dfs(1,0);
		top[1]=1;
		dfs(1);
		build(1,1,n);
	}
	void f(int u,pii tg,int dep) {
		if(dep>=mindep[u]) tr[u][dep-mindep[u]]=tr[u][dep-mindep[u]]*tg;
	}
	void pushdown(int u) { 
		rep(i,0,B) {
			if(tr[u][i].x!=1 || tr[u][i].y) {
				f(u<<1,tr[u][i],mindep[u]+i);
				f(u<<1|1,tr[u][i],mindep[u]+i);
				tr[u][i]={1,0};
			}
		}
		if(tr[u][11].x!=1 || tr[u][11].y) {
			int tmp=max(0,mindep[u]+11-mindep[u<<1]);
			rep(i,tmp,11) tr[u<<1][i]=tr[u<<1][i]*tr[u][11];
			tmp=max(0,mindep[u]+11-mindep[u<<1|1]);
			rep(i,tmp,11) tr[u<<1|1][i]=tr[u<<1|1][i]*tr[u][11];
			tr[u][11]={1,0};
		}
	}
	int query(int u,int l,int r,int x) {
		if(l==r) return tr[u][0].y;
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(u);
		if(x<=mid) return query(u<<1,l,mid,x);
		return query(u<<1|1,mid+1,r,x);
	}
	void _update(int u,int l,int r,int L,int R,pii x) {
		if(l>=L && r<=R) {
			rep(i,0,11) tr[u][i]=tr[u][i]*x;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(u);
		if(L<=mid) _update(u<<1,l,mid,L,R,x);
		if(mid+1<=R) _update(u<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
	}
	void _update2(int u,int l,int r,int L,int R,int dep,pii x) {
		if(mindep[u]>dep) return;
		if(l>=L&&r<=R) return tr[u][dep-mindep[u]]=tr[u][dep-mindep[u]]*x, void(0);
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(u);
		if(L<=mid) _update2(u<<1,l,mid,L,R,dep,x);
		if(mid+1<=R) _update2(u<<1|1,mid+1,r,L,R,dep,x);
	}
	void update2(int u,int v,pii x) {
		while(top[u]^top[v]) {
			if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
			_update(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u],x), u=fa[top[u]];
		}
		if(dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v);
		_update(1,1,n,dfn[u],dfn[v],x);
	}
	void update3(int u,pii x) { _update(1,1,n,dfn[u],eddfn[u],x); }
	void update4(int u,int d,pii x) {
		while(~d && u) {
			if(d && fa[u]) {
				_update2(1,1,n,dfn[u],eddfn[u],dep[u]+d,x);
				_update2(1,1,n,dfn[u],eddfn[u],dep[u]+d-1,x);
			}else {
				rep(i,0,d) _update2(1,1,n,dfn[u],eddfn[u],dep[u]+i,x);
			}
			u=fa[u], --d;
		}
	}
	void main() {
		read(sub),read(n),read(m);
		rep(i,1,n-1) {
			read(u),read(v);
			to[u].push_back(v), to[v].push_back(u);
		}
		rep(i,1,n) read(a[i]);
		init();
		rep(i,1,m) {
			read(op), read(u);
			if(op==1) write(query(1,1,n,dfn[u]),'\n'); 
			else if(op==2) read(v),read(k),read(b), update2(u,v,{k,b});
			else if(op==3) read(k),read(b), update3(u,{k,b});
			else read(d),read(k),read(b), update4(u,d,{k,b}); 
		}
	}
}
int main() {
	#ifdef LOCAL
	freopen("my.out","w",stdout);
	#else 
	freopen("tour.in","r",stdin);
	freopen("tour.out","w",stdout);
	#endif
	humorous :: main();
}